Fiche de révision : Statistique descriptive et vocabulaire

📋 Plan du Cours

1. Rôle et démarche statistique
2. Population et caractères statistiques
3. Séries et distributions statistiques
4. Représentations des distributions
5. Choix et lecture des graphiques
6. Graphiques qualitatifs
7. Bâtons et fonction de répartition
8. Histogrammes et polygones

📖 1. Rôle et démarche statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Discipline scientifique qui développe et utilise des méthodes pour recueillir, organiser, résumer, analyser et interpréter des données afin d’en tirer des conclusions.

★ À maîtriser

📌 Les statistiques désignent les données observées ou les résultats numériques obtenus à partir de ces données, tandis que la statistique désigne la discipline qui les étudie.

• 🔄 Une étude statistique suit six étapes :

  1. Définir la problématique et les objectifs
  2. Déterminer la population et les caractères
  3. Collecter les données
  4. Dépouiller et organiser les données
  5. Décrire les données par des tableaux, graphiques et indicateurs
  6. Interpréter les résultats et décider

• La statistique descriptive décrit fidèlement les données observées au moyen de tableaux, graphiques et indicateurs, tandis que la statistique inférentielle utilise un échantillon pour tirer des conclusions incertaines sur une population.

Compléments

• La statistique transforme des données en information, puis l’information en aide à la décision malgré la variabilité et l’incertitude.

📌 Les étapes 1 à 3 précèdent l’analyse, et une erreur commise à ce stade ne peut pas être corrigée par les calculs ultérieurs.

💡 Astuce mémo

Recueillir → organiser → représenter → résumer → interpréter

📖 2. Population et caractères statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Population statistique : La population statistique est l’ensemble des éléments sur lesquels porte l’étude ; si elle est finie, sa taille est notée $N=\operatorname{card}(\Omega)$.
• Individu : Élément de la population sur lequel on observe ou mesure le caractère étudié.
• Caractère : Propriété que l’on observe ou mesure sur chaque individu de la population.
• Variable statistique : Une variable statistique est une application qui associe à chaque individu la valeur observée de son caractère, appartenant à un ensemble de modalités.

• Échantillon : Un échantillon est une partie de la population constituée de $n$ individus effectivement observés, avec $n\leq N$ lorsque la population est finie.
• Modalité : Différentes valeurs qualitatives ou quantitatives qu’un caractère peut prendre.

★ À maîtriser

• Un caractère qualitatif décrit des catégories, alors qu’un caractère quantitatif prend des valeurs numériques issues d’une mesure ou d’un dénombrement, pour lesquelles les écarts ont un sens.

• Un caractère qualitatif nominal n’a pas d’ordre naturel, tandis qu’un caractère qualitatif ordinal possède un ordre naturel sans que les écarts entre modalités aient une valeur numérique.

• Un caractère quantitatif discret prend un ensemble fini ou dénombrable de valeurs isolées, tandis qu’un caractère quantitatif continu peut prendre en principe toute valeur d’un intervalle réel.

Compléments

📌 Une population doit être définie sans ambiguïté en précisant le domaine de l’étude, le lieu et la période.

📌 Lorsque $n=N$, l’étude porte sur toute la population et constitue un recensement ; lorsque $n<N$, seule une partie de la population est observée.

• Un code postal est qualitatif nominal même s’il est écrit avec des chiffres, car ses valeurs ne représentent pas des mesures et leur moyenne n’a pas de sens.

💡 Astuce mémo

Un individu est observé ; un caractère est mesuré sur lui.

📖 3. Séries et distributions statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution : Une distribution associe aux valeurs observées, ou aux classes, leurs effectifs ou leurs fréquences.
• Effectif : L’effectif d’une modalité est le nombre d’observations égales à cette modalité.
• Effectif cumulé croissant : Pour des modalités ordonnées, l’effectif cumulé croissant $N_i$ compte les observations inférieures ou égales à $a_i$ et vaut $N_i=\sum_{k=1}^{i}n_k$.
• Classe : Une classe est un intervalle $[e_{i-1};e_i[$ délimité par ses bornes et appartenant à un découpage de l’intervalle contenant les observations.
• Densité d’effectif : La densité d’effectif d’une classe est son effectif divisé par son amplitude, soit $d_i=\frac{n_i}{\ell_i}$.
• Série brute : Une série brute présente les observations dans l’ordre chronologique de leur recueil.
• Série ordonnée : Une série ordonnée présente les observations triées par ordre croissant, de $x_{(1)}$ à $x_{(n)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fréquence relative de la modalité $a_i$ est $f_i=\frac{n_i}{n}$ et son pourcentage est $100f_i\%$.

📐 Formule - L’amplitude et le centre de la classe $[e_{i-1};e_i[$ sont respectivement $\ell_i=e_i-e_{i-1}$ et $c_i=\frac{e_{i-1}+e_i}{2}$.

Compléments

📌 Les modalités distinctes sont les valeurs différentes effectivement observées et leur nombre $p$ vérifie $p\leq n$, tandis que les observations comptent les répétitions et sont au nombre de $n$.

📐 Formule - Pour un système exhaustif de modalités incompatibles, la somme des effectifs vaut $\sum_{i=1}^{p}n_i=n$.

📌 Les fréquences relatives vérifient $0\leq f_i\leq1$ et leur somme vaut $\sum_{i=1}^{p}f_i=1$.

📌 Les effectifs et fréquences cumulés nécessitent des modalités ordonnées ; ils ne s’appliquent donc pas à un caractère qualitatif nominal.

📐 Formule - Pour une modalité ordonnée $a_i$, l’effectif cumulé décroissant vaut $N_i^{\downarrow}=n-N_{i-1}$ et la fréquence cumulée décroissante vaut $F_i^{\downarrow}=1-F_{i-1}$.

📌 Pour lire un cumul, « au plus » correspond à $\leq$ et au cumul croissant, « au moins » à $\geq$ et au cumul décroissant, tandis que « moins de » et « plus de » expriment des inégalités strictes.

📌 Pour comparer des distributions de tailles différentes, il faut comparer les fréquences plutôt que les seuls effectifs.

💡 Astuce mémo

La série conserve les valeurs individuelles ; la distribution les regroupe.

📖 4. Représentations des distributions

★ À maîtriser

📌 Pour un caractère qualitatif nominal, les représentations des effectifs ou fréquences sont le diagramme en barres et le diagramme circulaire, tandis que les cumuls n’ont pas de sens.

📌 Pour un caractère quantitatif discret, on représente les effectifs ou fréquences par un diagramme en bâtons et les cumuls par une fonction en escalier.

Compléments

📌 Pour un caractère qualitatif ordinal, on peut utiliser un diagramme en barres en respectant l’ordre des modalités, et les cumuls sont possibles.

📖 5. Choix et lecture des graphiques

★ À maîtriser

📌 Le choix d’un graphique dépend du type du caractère, de la question posée (part, comparaison, forme ou cumul) et du nombre de modalités.

Compléments

• Un graphique doit permettre de lire sans ambiguïté une proportion, une comparaison ou la forme d’une distribution.

📖 6. Graphiques qualitatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en barres : Associe à chaque modalité un rectangle de base constante, séparé des autres, dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence.
• Diagramme circulaire : Partage un disque en secteurs, un par modalité, dont l’angle central est proportionnel à la fréquence de la modalité.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’angle central du secteur de la modalité i vérifie $\alpha_i = 360^\circ f_i = 360^\circ \frac{n_i}{n}$.

📌 Le diagramme circulaire convient aux parts du tout et à un petit nombre de modalités (au plus 5 ou 6), tandis que le diagramme en barres facilite la comparaison des effectifs, accepte davantage de modalités et peut juxtaposer deux séries.

Compléments

📌 Dans un diagramme en barres, les rectangles sont disjoints, l’axe des ordonnées commence à zéro et l’ordre des modalités est libre pour un caractère nominal, mais naturel pour un caractère ordinal.

• Dans l’exemple d’état civil, l’effectif des célibataires est 9 et celui des veufs est 2, donc la barre « Célibataire » est 4,5 fois plus haute que la barre « Veuf » et la modalité dominante est « Célibataire ».

📐 Formule - La somme des angles des secteurs d’un diagramme circulaire vaut $\sum_i \alpha_i = 360^\circ$.

• Le diagramme circulaire met en évidence la part de chaque modalité dans le tout et convient aux caractères qualitatifs ou aux caractères quantitatifs ayant très peu de modalités.

• 🔄 Pour lire un graphique qualitatif :

  1. Identifier le caractère, l’unité et l’effectif total.
  2. Repérer la modalité dominante.
  3. Comparer les proportions.
  4. Vérifier que les parts totalisent 100 %.

💡 Astuce mémo

Le circulaire montre une part du tout ; les barres facilitent les comparaisons.

📖 7. Bâtons et fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : Associe à chaque valeur d’un caractère quantitatif discret un segment vertical d’abscisse cette valeur et de hauteur égale à son effectif ou à sa fréquence.
• Fonction de répartition empirique : La fonction de répartition empirique F(x) donne la proportion des observations inférieures ou égales à x.
• Polygone des effectifs : Le polygone des effectifs ou des fréquences est une ligne brisée joignant les sommets supérieurs des bâtons.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une série de n observations, la fonction de répartition empirique est $F(x)=\frac{\operatorname{card}\{k:x_k\le x\}}{n}$.

Compléments

• L’axe des abscisses d’un diagramme en bâtons est un axe numérique gradué.

• Pour une distribution discrète de valeurs ordonnées a₁ < ··· < aₚ, F(x) vaut 0 si x < a₁, Fᵢ sur [aᵢ ; aᵢ₊₁[ et 1 si x ≥ aₚ.

• La fonction de répartition empirique est croissante, continue à droite, constante par morceaux et à valeurs dans [0, 1] ; elle saute de la fréquence fᵢ en chaque valeur aᵢ.

📖 8. Histogrammes et polygones

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Pour des classes [eᵢ₋₁ ; eᵢ[ d’amplitude ℓᵢ, un histogramme est formé de rectangles contigus dont la base représente la classe et dont l’aire représente l’effectif ou la fréquence de cette classe.
• Polygone des fréquences cumulées : Le polygone des fréquences cumulées relie les points (e₀, 0), (e₁, F₁), …, (eₚ, 1), où chaque fréquence cumulée Fᵢ est placée à la borne supérieure eᵢ de la classe.
• Polygone des effectifs : Le polygone des effectifs ou des fréquences relie les milieux des sommets supérieurs des rectangles de l’histogramme, puis se ferme sur l’axe des abscisses aux centres des classes vides adjacentes.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si l’aire du rectangle représente l’effectif, sa hauteur vaut $h_i=\frac{n_i}{\ell_i}$.

📌 Dans un histogramme, les aires représentent les effectifs ou les fréquences, tandis que les hauteurs représentent des densités ; si toutes les amplitudes sont égales, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs.

Compléments

📐 Formule - Si l’aire du rectangle représente la fréquence, sa hauteur vaut $h_i=\frac{f_i}{\ell_i}$ et l’aire totale de l’histogramme vaut 1.

• Pour des classes d’amplitudes inégales, la classe [6 ; 10[ a l’effectif maximal 24 mais la densité minimale 6 ; il faut donc comparer les densités plutôt que les effectifs ou les hauteurs brutes.

• Lorsque les amplitudes sont égales, l’aire sous le polygone des effectifs est égale à celle de l’histogramme ; le polygone met en évidence la tendance et la forme globale et permet de superposer plusieurs séries.

📐 Formule - Sous l’hypothèse d’une répartition uniforme dans chaque classe, pour eᵢ₋₁ ≤ x < eᵢ, la fonction de répartition vérifie $F(x)=F_{i-1}+f_i\frac{x-e_{i-1}}{\ell_i}$.

💡 Astuce mémo

Dans l’histogramme, l’aire porte l’effectif ; la hauteur porte la densité.