Fiche de révision : Nombres premiers et calculs

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Puissances et règles de calcul
3. Multiples, diviseurs et parité
4. Nombres premiers
5. PGCD et facteurs premiers
6. Fractions irréductibles
7. Opérations sur les fractions
8. Racines carrées
9. Pendule et vocabulaire ensembliste

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel.
• Nombres rationnels : Quotients de deux entiers relatifs dont le dénominateur est non nul.
• Nombres réels : Abscisses des points d’une droite graduée munie d’une origine.
• Entiers naturels : Les entiers naturels, notés ℕ, sont les entiers positifs ou nuls.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs, notés ℤ, comprennent les entiers naturels et leurs opposés.
• Nombre irrationnel : Nombre réel qui n’est pas rationnel.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$.

Compléments

• Le nombre $\frac13$ n’est pas décimal.

• Pour démontrer une proposition par l’absurde, on suppose d’abord qu’elle est fausse, on en déduit une contradiction, puis on conclut qu’elle est vraie.

📖 2. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Produit de n facteurs égaux à a, où n est un entier naturel non nul ; n est l’exposant.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a non nul et n entier naturel, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule - Pour tout réel a non nul, $a^0=1$, tandis que $0^0$ n’est pas défini.

📐 Formule - Pour a non nul et des entiers m et p, le produit de puissances de même base vérifie $a^m \times a^p=a^{m+p}$.

Compléments

📐 Formule - Pour a non nul et des entiers m et p, le quotient de puissances de même base vérifie $\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$.

📐 Formule - Pour a non nul et des entiers m et n, une puissance de puissance vérifie $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

📐 Formule - Pour a et b non nuls et un entier m, la puissance d’un produit vérifie $(a\times b)^m=a^m\times b^m$.

📐 Formule - Pour a et b non nuls et un entier m, la puissance d’un quotient vérifie $\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$.

📖 3. Multiples, diviseurs et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Pour deux entiers relatifs a et b, a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que $a=b\times k$.
• Entier pair : Un entier relatif n est pair s’il existe un entier k tel que $n=2k$.
• Entier impair : Un entier relatif n est impair s’il existe un entier k tel que $n=2k+1$.
• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier a est encore un multiple de a.

Compléments

• 1 divise tous les entiers et tout entier est un multiple de lui-même.

📌 Si n est un entier impair, alors $n^2$ est également impair.

• Toute fraction se simplifie en une unique fraction irréductible.

📖 4. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Pour un entier n supérieur ou égal à 2, si aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt n$ ne divise n, alors n est premier.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

• Pour vérifier que 157 est premier, on teste les nombres premiers jusqu’à 12, car $12 < \sqrt{157} < 13$ ; 157 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11.

📖 5. PGCD et facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand diviseur commun de deux entiers non tous nuls.
• Décomposition en facteurs premiers : Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit comme un produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

📝 Points essentiels

• Les diviseurs communs de 18 et 24 ont pour plus grand élément 6, donc PGCD(18 ; 24) = 6.

• Le PGCD ne change pas si l’on remplace l’un ou les deux entiers par leurs opposés : PGCD(18 ; 24) = PGCD(−18 ; 24) = PGCD(18 ; −24) = PGCD(−18 ; −24) = 6.

• La décomposition de 140 en facteurs premiers est $140 = 2^2 \times 5 \times 7$.

📖 6. Fractions irréductibles

★ À maîtriser

• Pour rendre une fraction irréductible, on peut décomposer son numérateur et son dénominateur en facteurs premiers puis simplifier les facteurs communs ; pour $\frac{140}{630}$, on obtient $\frac{2}{9}$.

Compléments

• On peut aussi diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD ; pour $\frac{140}{630}$, le PGCD vaut 70 et la fraction irréductible obtenue est $\frac{2}{9}$.

📐 Formule - La racine carrée de 2 n’est pas rationnelle : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

📖 7. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des dénominateurs identiques non nuls, $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$.

📐 Formule - Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{d} = \frac{ad}{cd} \pm \frac{bc}{dc}$.

📐 Formule - Le produit de deux fractions de dénominateurs non nuls vérifie $\frac{a}{c} \times \frac{b}{d} = \frac{ab}{cd}$.

📐 Formule - La division par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$.

Compléments

• Dans le calcul de $\frac12 + \frac34 \times \frac56$, la multiplication est effectuée avant l’addition, ce qui donne $\frac98$.

📖 8. Racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour tout réel a supérieur ou égal à 0, la racine carrée de a est le nombre positif dont le carré vaut a, noté $\sqrt a$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2} = |a|$.

📐 Formule - Pour deux réels positifs a et b, la racine carrée d’un produit est le produit des racines carrées : $\sqrt{ab} = \sqrt a\times\sqrt b$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux réels positifs a et b avec b non nul, $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

• La racine carrée de 18 se simplifie ainsi : $\sqrt{18} = 3\sqrt 2$.

• En général, la racine carrée d’une somme n’est pas égale à la somme des racines carrées, comme le montre $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ alors que $\sqrt4+\sqrt9=5$.

💡 Astuce mémo

La racine carrée est toujours positive, contrairement aux deux nombres possibles dont le carré vaut a.

📖 9. Pendule et vocabulaire ensembliste

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple : Un couple est une paire ordonnée (x ; y), où x appartient à E et y appartient à F.
• Produit cartésien : Le produit cartésien de E et F est l’ensemble des couples (x ; y) tels que x appartient à E et y appartient à F.
• Cardinal : Si A est fini, son cardinal est noté Card(A).
• Complémentaire : Le complémentaire de A inclus dans E est l’ensemble E\A.

★ À maîtriser

📐 Formule - Sous l’approximation des petites oscillations, la période du pendule vérifie $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, où T est en secondes, L en mètres et g en m·s⁻².

Compléments

📐 Formule - La longueur du pendule s’exprime en fonction de sa période et de l’accélération de la pesanteur par $L = \frac{gT^2}{4\pi^2}$.

• Dans l’exercice, l’accélération de la pesanteur est prise égale à environ 10 m·s⁻².

• La première démonstration publique du pendule de Foucault a eu lieu en 1851 sous la voûte du Panthéon, à Paris.