Fiche de révision : Statistique pour données expérimentales

📋 Plan du Cours

1. Décrire les populations et variables
2. Hypothèses et erreurs statistiques
3. Seuils et décision des tests
4. Pourcentages et écart-réduit
5. Tests du χ²
6. Décrire une variable quantitative
7. Estimer une moyenne par intervalle
8. Comparer moyennes et variances
9. Analyse de variance ANOVA
10. Corrélation entre variables quantitatives
11. Comparaisons non paramétriques

📖 1. Décrire les populations et variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble des unités statistiques, ou individus, étudiées ou visées par l’étude.
• Échantillon : Sous-ensemble de la population, généralement beaucoup plus petit, qui doit être choisi pour la représenter.
• Variable : Propriété selon laquelle un individu de la population peut être étudié.
• Fréquence : Rapport de l’effectif correspondant à l’effectif total ; la somme des fréquences est toujours égale à 1.

★ À maîtriser

• La statistique descriptive organise et résume les observations, généralement dans un seul groupe, sans comparaison, tandis que la statistique inférentielle teste des hypothèses et extrapole de l’échantillon à un ensemble plus vaste.

• Une variable qualitative ne prend pas de valeur numérique et peut avoir plusieurs modalités, tandis qu’une variable quantitative prend des valeurs numériques.

• Une variable quantitative discrète prend des valeurs dénombrables, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.

Compléments

📌 Une variable qualitative ordinale possède des modalités hiérarchisées que l’on peut classer, mais dont les écarts ne peuvent pas être quantifiés à partir de cet ordre.

💡 Astuce mémo

La population est l’ensemble, l’échantillon en est le sous-ensemble observé.

📖 2. Hypothèses et erreurs statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle : L’hypothèse nulle H₀ pose qu’il n’existe pas de différence entre les données étudiées.
• Hypothèse alternative : L’hypothèse alternative H₁ pose qu’il existe une différence entre les données étudiées.
• Risque de première espèce : Le risque de première espèce α est la probabilité de rejeter H₀ alors qu’elle est vraie.
• Risque de deuxième espèce : Le risque de deuxième espèce β est la probabilité de ne pas rejeter H₀ alors qu’elle est fausse.
• Puissance du test : La puissance d’un test est la probabilité 1 − β de rejeter H₀ lorsqu’elle est fausse, c’est-à-dire de détecter une différence qui existe.

📝 Points essentiels

• Le risque β dépend de l’effectif de l’échantillon : plus l’effectif est important, plus β diminue et plus les chances de détecter une différence réelle augmentent.

💡 Astuce mémo

Rejeter H₀ vraie : α ; ne pas rejeter H₀ fausse : β.

📖 3. Seuils et décision des tests

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré de signification : Le degré de signification p est la probabilité associée au résultat du test, recherchée dans la table correspondante, et précise le risque potentiel d’erreur accompagnant le rejet de H₀.

★ À maîtriser

📌 Au seuil de signification de 5 %, on rejette H₀ si p < 0,05 et on ne la rejette pas si p ≥ 0,05.

📌 Le rejet de H₀ permet de préciser le risque α associé à la conclusion, tandis que le non-rejet de H₀ n’exclut pas qu’une différence réelle existe, car elle a pu ne pas être détectée dans l’échantillon.

Compléments

• Une différence associée à p = 0,01 est dite significative à 1 %, et une différence associée à p = 0,001 est dite significative à 0,1 %.

• Le nombre d’individus nécessaire à l’étude doit être déterminé à l’avance pour obtenir une capacité suffisante à détecter une différence réelle.

💡 Astuce mémo

p < α rejette H₀ ; p ≥ α ne la rejette pas.

📖 4. Pourcentages et écart-réduit

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-réduit : L’écart-réduit ε exprime l’écart observé en unités d’écart-type, l’écart-type étant la racine carrée de la variance.

★ À maîtriser

📌 La table de l’écart-réduit s’utilise pour un caractère qualitatif à deux classes seulement si les deux effectifs théoriques vérifient np > 5 et nq > 5.

• Pour un seuil de signification α = 0,05, l’écart-réduit critique est ε = 1,96.

📐 Formule - L’intervalle de confiance à 95 % d’un pourcentage observé pO sur n cas est $p_O \pm 1{,}96\sqrt{\frac{p_O(1-p_O)}{n}}$, et son calcul exige que npO et n(1 − pO) soient au moins égaux à 5.

📌 Pour comparer un pourcentage observé à un pourcentage théorique au seuil de 5 %, la différence n’est pas significative si |ε| < 1,96 et elle est significative si |ε| > 1,96.

Compléments

📐 Formule - Pour une précision fixée e au risque α, le nombre de sujets nécessaire est $n=\frac{\varepsilon_\alpha^2p_O(1-p_O)}{e^2}$.

📌 Pour comparer deux pourcentages observés, l’écart-réduit repose sur les deux proportions et s’utilise seulement si chacun des deux échantillons est grand.

📖 5. Tests du χ²

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour comparer une répartition observée à une répartition théorique, l’indice de Pearson est $\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(o_i-c_i)^2}{c_i}$, où oi est l’effectif observé et ci l’effectif théorique.

📌 Le test du χ² pour une répartition à k classes exige que tous les effectifs théoriques soient au moins égaux à 5 et utilise k − 1 degrés de liberté.

📌 Dans le test du χ², une probabilité α inférieure à 5 % indique une différence significative, tandis qu’une probabilité supérieure à 5 % indique une différence non significative.

• Pour un tableau de contingence à l lignes et c colonnes, le nombre de degrés de liberté du test d’indépendance est $(l-1)(c-1)$.

Compléments

• Pour tester l’indépendance de deux variables qualitatives dans un tableau de contingence, on calcule les effectifs théoriques sous l’hypothèse d’indépendance, on vérifie leur validité, on calcule χ², puis on compare le résultat à la table avec les degrés de liberté appropriés.

📖 6. Décrire une variable quantitative

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : Somme des valeurs divisée par l’effectif.
• Médiane : La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
• Mode : Le mode est la valeur qui revient le plus fréquemment dans la population ou la valeur centrale de la classe ayant le plus grand effectif.
• Quartiles : Le premier quartile Q1 est la valeur au-dessous de laquelle se trouvent 25 % des données, le troisième quartile Q3 celle au-dessous de laquelle se trouvent 75 % des données, et la médiane est le deuxième quartile Q2.
• Étendue : Différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
• Coefficient de variation : Le coefficient de variation est un paramètre de dispersion relatif, sans unité, égal au rapport de l’écart-type à la moyenne.

📖 7. Estimer une moyenne par intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance et constitue un paramètre de dispersion des valeurs.

★ À maîtriser

• La boîte à moustaches résume la distribution par cinq nombres :
  • Minimum
  • Premier quartile Q1
  • Médiane Q2
  • Troisième quartile Q3
  • Maximum

Compléments

📌 L’écart-type est surtout approprié lorsque la distribution observée est gaussienne ou au moins symétrique et unimodale ; dans le cas gaussien, il peut servir à définir des intervalles de confiance autour de la moyenne.

💡 Astuce mémo

Grand échantillon : écart-réduit ; petit échantillon : Student-Fisher.

📖 8. Comparer moyennes et variances

★ À maîtriser

• L’erreur standard de la moyenne (SEM) estime l’incertitude de la moyenne échantillonnale, tandis que l’écart-type (SD) décrit la dispersion des observations individuelles.

• Pour estimer une moyenne par un intervalle de confiance avec un grand échantillon, le cours utilise l’écart-réduit et indique l’applicabilité lorsque n > 30.

• L’intervalle de confiance de la moyenne de la population répond à une question différente de l’intervalle contenant les valeurs individuelles des sujets.

• Pour un petit échantillon, l’écart-réduit ne suit plus la loi normale utilisée par sa table ; on utilise la loi de Student-Fisher avec n − 1 degrés de liberté.

Compléments

• Pour deux séries appariées, on calcule les différences par paire, puis on compare leur moyenne à zéro ; pour un petit échantillon, le test t utilise n − 1 degrés de liberté et suppose que les différences suivent une loi normale.

📖 9. Analyse de variance ANOVA

🔑 Notions clés & Définitions

• Test F : La comparaison de deux variances repose sur leur rapport, en plaçant la plus grande variance au numérateur ; les variances diffèrent significativement si ce rapport atteint ou dépasse la valeur seuil de la table F.

★ À maîtriser

• La comparaison de deux moyennes par l’écart-réduit s’applique aux grands échantillons lorsque n > 30 ; à 5 %, la différence est significative si ε ≥ 1,96.

• La comparaison de deux moyennes par le test t pour échantillons indépendants exige au moins un petit échantillon, des distributions normales dans les deux populations et des variances égales ; le nombre de degrés de liberté est nA + nB − 2.

• L’exactitude d’une méthode de mesure décrit la proximité de la mesure moyenne à la quantité réelle, tandis que sa précision décrit la faible variabilité des mesures répétées.

Compléments

📌 La comparaison de deux variances par le test F n’est valable que si les deux séries proviennent de populations à distribution normale.

💡 Astuce mémo

Inter-modalités : différences entre groupes ; résiduelle : variabilité dans les groupes.

📖 10. Corrélation entre variables quantitatives

★ À maîtriser

📌 Dans une ANOVA, la variance inter-modalités mesure la variabilité entre les modalités, tandis que la variance résiduelle mesure la variabilité à l’intérieur des modalités, une fois le facteur contrôlé fixé.

📌 L’ANOVA à un facteur compare plusieurs moyennes en confrontant la variance inter-modalités à la variance résiduelle au moyen d’un rapport F.

Compléments

📌 L’ANOVA à deux facteurs distingue les effets entre les niveaux des deux facteurs, leur interaction et la variance résiduelle.

📌 Les ANOVA présentées supposent des distributions normales et l’égalité des variances.

📖 11. Comparaisons non paramétriques

★ À maîtriser

📌 Le test d’indépendance entre deux variables quantitatives repose sur la pente en coordonnées réduites, appelée coefficient de corrélation r, et utilise n − 2 degrés de liberté dans la table de corrélation.

Compléments

📌 Dans le test de corrélation, une probabilité supérieure à 5 % indique une liaison non significative, tandis qu’une probabilité inférieure ou égale à 5 % indique une liaison significative.

💡 Astuce mémo

Ranger les observations, attribuer les rangs, calculer U, puis comparer à son seuil.

📊 Tableaux de synthèse

Erreurs et décisions du test