Fiche de révision : Trigonométrie dans le triangle rectangle

📋 Plan du Cours

1. Angles aigus et côtés du triangle rectangle
2. Définition et usages du cosinus
3. Sinus et tangente des angles aigus
4. Calculs trigonométriques en situation
5. Triangles semblables et proportionnalité

📖 1. Angles aigus et côtés du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle aigu : Angle dont la mesure x vérifie $$0° < x < 90°.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires et leur somme vaut 90°.

• Dans un triangle ABC rectangle en A, [BC] est l’hypoténuse ; pour l’angle ABC, [AB] est adjacent et [AC] opposé, tandis que pour l’angle ACB, [AC] est adjacent et [AB] opposé.

📖 2. Définition et usages du cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : Quotient de la longueur du côté adjacent à l’angle par celle de l’hypoténuse.

★ À maîtriser

• Le cosinus d’un angle aigu est strictement compris entre 0 et 1 et ne possède pas d’unité.

• Le cosinus dépend uniquement de la mesure de l’angle et deux angles aigus de mesures différentes ont des cosinus différents.

Compléments

• Dans un triangle EFG rectangle en E, $\cos(\widehat{EFG})=\frac{EF}{FG}$ et $\cos(\widehat{EGF})=\frac{EG}{FG}$.

• Le cosinus permet de calculer la mesure d’un angle ou une longueur dans un triangle rectangle.

📖 3. Sinus et tangente des angles aigus

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus : Quotient de la longueur du côté opposé à l’angle par celle de l’hypoténuse.
• Tangente : Quotient de la longueur du côté opposé à l’angle par celle du côté adjacent.

★ À maîtriser

• Pour tout angle aigu, le sinus et la tangente sont positifs et sans dimension, et le sinus est strictement inférieur à 1.

• Le mémo SOH CAH TOA associe sinus à opposé/hypoténuse, cosinus à adjacent/hypoténuse et tangente à opposé/adjacent.

Compléments

• Le sinus et la tangente d’un angle aigu dépendent uniquement de la mesure de cet angle, et non des côtés du triangle rectangle.

💡 Astuce mémo

SOH CAH TOA : Opposé/Hypoténuse, Adjacent/Hypoténuse, Opposé/Adjacent.

📖 4. Calculs trigonométriques en situation

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse v, la distance parcourue d et la durée t vérifient $v=\frac{d}{t}$.

Compléments

• Pour un signal radar émis à 300 000 km/s et reçu après 0{,}0003 s d’aller-retour, la distance avion-radar est de 45 km.

• À 45 km du radar et avec une direction formant un angle de 5° avec l’horizontale, l’altitude de l’avion est calculée par $AI=45\sin(5°)$, soit environ 3{,}9 km.

• Pour une altitude de 9 500 m et une distance horizontale de 50 km, la tangente de l’angle vaut 0{,}19 et l’angle mesure environ 10{,}8°.

📖 5. Triangles semblables et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Triangles dont les angles sont égaux deux à deux.

★ À maîtriser

📌 Si deux angles d’un triangle sont respectivement égaux à deux angles d’un autre triangle, alors les triangles sont semblables.

• Deux triangles semblables sont l’agrandissement ou la réduction l’un de l’autre, et leurs côtés homologues sont proportionnels.

📌 Si les côtés de deux triangles sont proportionnels, alors ces triangles sont semblables.

Compléments

• Deux triangles équilatéraux sont toujours semblables, car chacun de leurs angles mesure 60°.

• Le théorème de Thalès est un cas particulier de deux triangles semblables.