QCM : Trigonométrie dans le triangle rectangle (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la mesure d’un angle aigu, quelles propositions sont exactes ?

Un angle aigu mesure strictement entre 0°0° et 180°180°.
Un angle aigu mesure strictement entre 0°0° et 90°90°, bornes exclues.
Un angle aigu mesure entre 90°90° et 180°180°, bornes exclues.
Un angle aigu mesure strictement entre 90°90° et 180°180°.
Un angle aigu mesure strictement entre 0°0° et 90°90°.

Un angle aigu mesure strictement entre $$0°$$ et $$90°$$, bornes exclues. · Un angle aigu mesure strictement entre $$0°$$ et $$90°$$.

Explication

Un angle aigu a une mesure supérieure à 0°0° et inférieure à 90°90°, donc les bornes sont exclues. Les intervalles allant jusqu’à 180°180° ou commençant à 90°90° ne définissent pas un angle aigu.

2. Dans un triangle ABC rectangle en A, quelles propositions décrivent correctement les côtés associés aux angles ABC et ACB ?

Le côté AB est l’hypoténuse du triangle ABC.
Pour l’angle ABC, le côté AC est adjacent et AB est opposé.
Le côté BC est l’hypoténuse du triangle ABC.
Pour l’angle ACB, le côté AB est adjacent et AC est opposé.
Pour l’angle ABC, le côté AB est adjacent et AC est opposé.

Le côté BC est l’hypoténuse du triangle ABC. · Pour l’angle ABC, le côté AB est adjacent et AC est opposé.

Explication

Le côté opposé à l’angle droit A, BC, est l’hypoténuse ; pour l’angle ABC, AB est adjacent et AC opposé. AB n’est pas l’hypoténuse, et pour l’angle ACB, c’est AC qui est adjacent tandis qu’AB est opposé.

3. À propos du cosinus d’un angle aigu :

Le cosinus est le quotient du côté opposé par le côté adjacent.
Le cosinus est le quotient du côté opposé par le côté opposé.
Le cosinus est le quotient de l’hypoténuse par le côté adjacent.
Le cosinus compare la longueur adjacente à celle de l’hypoténuse.
Le cosinus est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.

Le cosinus compare la longueur adjacente à celle de l’hypoténuse. · Le cosinus est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.

Explication

Le cosinus d’un angle aigu est le rapport de la longueur du côté adjacent à celle de l’hypoténuse. Le rapport opposé/hypoténuse correspond au sinus, opposé/adjacent à la tangente, et opposé/opposé n’est pas le rapport du cosinus.

4. Un angle aigu a un cosinus calculé à partir des longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle. Quelles propositions sont exactes ?

Le cosinus obtenu s’exprime dans la même unité que les côtés.
Le cosinus obtenu est strictement compris entre 00 et 11.
Le cosinus obtenu reste inférieur à 11, même si des côtés dépassent 11.
Le cosinus obtenu peut dépasser 11 si l’hypoténuse est longue.
Le cosinus obtenu est un nombre sans unité.

Le cosinus obtenu est strictement compris entre $$0$$ et $$1$$. · Le cosinus obtenu reste inférieur à $$1$$, même si des côtés dépassent $$1$$. · Le cosinus obtenu est un nombre sans unité.

Explication

Le cosinus d’un angle aigu est strictement compris entre 00 et 11 et ne possède pas d’unité, car il s’agit d’un quotient de longueurs. Une longueur de côté peut dépasser 11, mais cela ne permet pas au cosinus de dépasser 11.

5. Deux triangles rectangles différents contiennent des angles aigus de mesures différentes. Concernant leurs cosinus :

Le cosinus dépend des longueurs des côtés prises isolément.
Le cosinus de chaque angle dépend de sa mesure.
La taille des triangles ne détermine pas à elle seule le cosinus.
Deux angles aigus de mesures différentes ont le même cosinus.
Deux angles aigus de mesures différentes ont des cosinus différents.

Le cosinus de chaque angle dépend de sa mesure. · La taille des triangles ne détermine pas à elle seule le cosinus. · Deux angles aigus de mesures différentes ont des cosinus différents.

Explication

Le cosinus dépend de la mesure de l’angle et deux angles aigus de mesures différentes ont des cosinus différents. Les longueurs prises isolément et la taille des triangles ne déterminent pas le cosinus indépendamment de l’angle.

6. Parmi les propositions suivantes concernant le sinus d’un angle aigu, laquelle ou lesquelles est/sont exacte(s) ?

Le sinus est le quotient du côté adjacent par le côté adjacent.
Le sinus est le quotient de l’hypoténuse par le côté opposé.
Le sinus compare la longueur opposée à celle de l’hypoténuse.
Le sinus est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.
Le sinus est le quotient du côté opposé par l’hypoténuse.

Le sinus compare la longueur opposée à celle de l’hypoténuse. · Le sinus est le quotient du côté opposé par l’hypoténuse.

Explication

Le sinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé par celle de l’hypoténuse. Le rapport adjacent/hypoténuse est le cosinus ; adjacent/adjacent et adjacent/opposé ne sont pas le rapport du sinus.

7. Dans un triangle rectangle, quelle(s) proposition(s) décrit (décrivent) correctement la tangente d’un angle aigu ?

La tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent.
La tangente est le quotient de l’hypoténuse par le côté opposé.
La tangente utilise le côté adjacent comme dénominateur.
Le cosinus est le quotient du côté opposé par l’hypoténuse.
La tangente compare la longueur opposée à la longueur adjacente.

La tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent. · La tangente utilise le côté adjacent comme dénominateur. · La tangente compare la longueur opposée à la longueur adjacente.

Explication

La tangente d’un angle aigu est le rapport côté opposé/côté adjacent ; le côté adjacent est donc son dénominateur. Le rapport opposé/hypoténuse définit le sinus, et le rapport adjacent/opposé inverse le rapport attendu pour la tangente.

8. Les caractéristiques du sinus et de la tangente d’un angle aigu comprennent :

Le sinus d’un angle aigu peut être égal à 11.
Le sinus et la tangente sont sans dimension.
Le sinus d’un angle aigu est strictement inférieur à 11.
Le sinus et la tangente sont négatifs pour un angle aigu.
Le sinus et la tangente sont positifs pour un angle aigu.

Le sinus et la tangente sont sans dimension. · Le sinus d’un angle aigu est strictement inférieur à $$1$$. · Le sinus et la tangente sont positifs pour un angle aigu.

Explication

Pour un angle aigu, le sinus et la tangente sont positifs et sans dimension, et le sinus est strictement inférieur à 11. Ils ne sont donc pas négatifs, et le sinus ne peut pas être égal à 11.

9. Que signifie le mémo SOH CAH TOA pour les rapports trigonométriques ?

SOH associe le sinus au rapport adjacent sur adjacent.
CAH associe le cosinus au rapport adjacent sur hypoténuse.
TOA associe la tangente au rapport adjacent sur opposé.
TOA associe la tangente au rapport opposé sur adjacent.
SOH associe le sinus au rapport opposé sur hypoténuse.

CAH associe le cosinus au rapport adjacent sur hypoténuse. · TOA associe la tangente au rapport opposé sur adjacent. · SOH associe le sinus au rapport opposé sur hypoténuse.

Explication

SOH correspond à sinus = opposé/hypoténuse, CAH à cosinus = adjacent/hypoténuse et TOA à tangente = opposé/adjacent. Le rapport adjacent/adjacent ne donne pas le sinus, et hypoténuse/opposé n’est pas le rapport de la tangente.

10. Concernant la relation entre vitesse, distance parcourue et durée :

La vitesse correspond à la durée du trajet divisée par la distance parcourue.
La distance parcourue correspond à la vitesse divisée par la durée du trajet.
La vitesse correspond à la distance parcourue divisée par la durée du trajet.
La durée du trajet correspond à la distance parcourue multipliée par la vitesse.
La vitesse correspond au produit de la distance parcourue et de la durée.

La vitesse correspond à la distance parcourue divisée par la durée du trajet.

Explication

La vitesse vérifie v=dtv=\frac{d}{t}, soit la distance divisée par la durée. Les autres propositions inversent le quotient ou donnent une opération qui ne correspond pas à cette relation.

11. Un avion se trouve à 45 km du radar et sa direction forme un angle de 5° avec l’horizontale. À propos du calcul de son altitude :

L’altitude se calcule avec le cosinus de l’angle de 5° et la distance de 45 km.
La relation utilisée pour l’altitude est AI=45sin⁡(5°)AI=45\sin(5°).
L’altitude se calcule avec le sinus de l’angle de 5° et la distance de 45 km.
La relation utilisée pour l’altitude est AI=45tan⁡(5°)AI=45\tan(5°).
L’altitude obtenue est d’environ 3,9 km lorsque l’angle vaut 5°.

La relation utilisée pour l’altitude est $$AI=45\sin(5°)$$. · L’altitude se calcule avec le sinus de l’angle de 5° et la distance de 45 km. · L’altitude obtenue est d’environ 3,9 km lorsque l’angle vaut 5°.

Explication

Le calcul donné est AI=45sin⁡(5°)AI=45\sin(5°), ce qui fournit une altitude d’environ 3,9 km. Le cosinus et la tangente ne sont pas les rapports utilisés dans cette situation.

12. Deux triangles sont semblables lorsque :

leurs bases sont égales et leurs hauteurs sont différentes.
leurs aires sont égales, même si leurs angles diffèrent.
leurs périmètres sont égaux, même si leurs angles diffèrent.
leurs côtés sont égaux deux à deux, même si leurs angles diffèrent.
leurs angles sont égaux deux à deux, sans exiger l’égalité de leurs côtés.

leurs angles sont égaux deux à deux, sans exiger l’égalité de leurs côtés.

Explication

La similitude est définie par l’égalité deux à deux des angles, tandis que les côtés homologues peuvent être proportionnels sans être égaux. L’égalité des côtés relève de la confusion avec des triangles égaux, et l’égalité des aires, périmètres ou bases ne suffit pas à établir la similitude.

13. Dans deux triangles, deux angles de l’un sont respectivement égaux à deux angles de l’autre. Quelle conclusion peut-on tirer ?

Les deux triangles ont des côtés homologues égaux, car deux angles correspondent.
Les deux triangles sont semblables, car l’égalité de deux angles suffit.
Les deux triangles ont des périmètres égaux, car deux angles correspondants sont égaux.
Les deux triangles sont égaux, car l’égalité de deux angles impose celle des côtés.
Les deux triangles ont la même aire, car deux angles correspondants sont égaux.

Les deux triangles sont semblables, car l’égalité de deux angles suffit.

Explication

L’égalité de deux paires d’angles entraîne la similitude des triangles. Elle ne garantit pas l’égalité des côtés, des aires ou des périmètres.

14. Quelles propriétés caractérisent deux triangles semblables ?

Leurs côtés homologues peuvent avoir des longueurs différentes tout en restant proportionnels.
Leurs côtés homologues sont proportionnels entre eux.
L’un peut être obtenu à partir de l’autre par agrandissement ou réduction.
Leurs côtés homologues ont nécessairement la même longueur.
Leurs angles correspondants sont égaux deux à deux.

Leurs côtés homologues peuvent avoir des longueurs différentes tout en restant proportionnels. · Leurs côtés homologues sont proportionnels entre eux. · L’un peut être obtenu à partir de l’autre par agrandissement ou réduction. · Leurs angles correspondants sont égaux deux à deux.

Explication

Des triangles semblables sont l’agrandissement ou la réduction l’un de l’autre : leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés homologues proportionnels. Ces côtés peuvent donc avoir des longueurs différentes ; leur égalité n’est pas une condition de similitude.

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Quelle mesure caractérise un angle aigu ?

Une mesure strictement comprise entre 0° et 90°.

Quelle est la somme des deux angles aigus d’un triangle rectangle ?

90°.

Dans un triangle ABC rectangle en A, quel côté est l’hypoténuse ?

[BC].

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