Fiche de révision : Statistiques descriptives et modèles linéaires

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement statistique en psychologie
2. Recherche et hypothèses statistiques
3. Inférence et décision statistique
4. Corrélation entre variables numériques
5. Interprétation des relations observées
6. Régression linéaire simple
7. Ajustement et évaluation du modèle

📖 1. Raisonnement statistique en psychologie

📝 Points essentiels

• Les statistiques sont utiles en psychologie pour : participer à la recherche expérimentale, compenser les limites de l’intuition en probabilités, lire les publications, conduire ses recherches, développer l’esprit critique, comprendre le monde

📖 2. Recherche et hypothèses statistiques

★ À maîtriser

• 🔄 Le cycle de recherche passe par :
  1. une question
  2. une hypothèse théorique
  3. l’opérationnalisation des variables
  4. le recueil des données
  5. les statistiques inférentielles
  6. une conclusion

📌 Dans l’étude du bonheur selon le sexe, le bonheur est la variable dépendante mesurée par un score sur une échelle de 11 points, tandis que le sexe est la variable indépendante catégorielle à deux modalités, homme ou femme.

Compléments

• Une variable numérique exprime une mesure numérique, tandis qu’une variable catégorielle répartit les observations en catégories.

📌 Un plan intersujets compare des groupes composés de personnes différentes, tandis qu’un plan intrasujets ou apparié compare des mesures liées aux mêmes personnes.

• L’hypothèse opérationnelle de l’exemple prévoit que le score de bonheur diffère entre les hommes et les femmes.

💡 Astuce mémo

Question → hypothèse théorique → opérationnalisation → données → inférence

📖 3. Inférence et décision statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle : L’hypothèse nulle de l’exemple affirme que les deux moyennes de bonheur sont égales dans la population parente.

★ À maîtriser

• Un test inférentiel évalue la probabilité d’obtenir les données observées si l’hypothèse nulle est vraie.

📌 Au seuil de 0,05, une p-value inférieure à 0,05 permet de rejeter l’hypothèse nulle et de conclure à un effet statistiquement significatif.

📌 Lorsque la p-value n’est pas inférieure à 0,05, on ne peut pas rejeter l’hypothèse nulle ni affirmer que les deux moyennes sont égales ; on conclut seulement que l’effet significatif n’a pas été mis en évidence.

• La p-value ne suffit pas à décrire l’importance d’un résultat : il faut aussi rapporter la taille d’effet, qui exprime notamment la différence entre les moyennes comparées.

Compléments

• Pour comparer les deux groupes indépendants de l’exemple sur le bonheur, le test t de Student donne t(1765) = 0.18 et p = .85.

• Pour 25 piles et 25 faces, la probabilité indiquée est p = 1 ; pour 23 piles et 27 faces, p = .57 ; pour 20 piles et 30 faces, p = .16 ; et pour 2 piles et 48 faces, p < .0001.

• Dans le modèle linéaire général, les données sont représentées comme la somme d’un modèle et d’une erreur : VD = VI + erreur.

• Pour une variable dépendante numérique, une variable indépendante catégorielle à deux modalités conduit au test t de Student, tandis qu’une variable indépendante catégorielle à trois modalités ou plus conduit à une ANOVA.

• Une variable indépendante numérique conduit à une régression simple, et plusieurs variables indépendantes numériques à une régression multiple.

💡 Astuce mémo

p-value : décision statistique ; taille d’effet : ampleur de l’effet

📖 4. Corrélation entre variables numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation : Une mesure standardisée de l’intensité d’une relation linéaire entre deux variables numériques.

★ À maîtriser

• Le coefficient de corrélation de Bravais-Pearson varie de −1 à +1, et son signe indique le sens de la relation.

📌 Pour calculer le coefficient de Bravais-Pearson, la relation entre X et Y doit être linéaire.

Compléments

• La covariance dépend des échelles de mesure : la covariance taille-poids indiquée vaut 76 lorsque la taille est exprimée en centimètres et 0,76 lorsqu’elle est exprimée en mètres.

• Dans l’exemple taille-poids, le coefficient de corrélation est r = 0,53.

📌 Le test de significativité du coefficient de corrélation suppose un échantillon issu d’une distribution normale bivariée, mais le test est décrit comme robuste, surtout lorsque l’effectif est important.

• Pour analyser deux variables numériques, on les décrit d’abord séparément, on représente ensuite leur relation par un nuage de points, puis on caractérise sa forme, sa force et son sens avant de calculer un coefficient de corrélation.

📖 5. Interprétation des relations observées

🔑 Notions clés & Définitions

• Paradoxe de Simpson : Apparaît lorsque la relation entre deux variables observée dans plusieurs groupes s’inverse lorsque ces groupes sont combinés.

• Point atypique : Ne suit pas la distribution caractéristique du reste des données et peut influencer la corrélation.

★ À maîtriser

📌 Une corrélation entre deux variables ne démontre pas une causalité entre elles.

• Une relation observée entre X et Y peut s’expliquer par : X causant Y, Y causant X, une troisième variable causant les deux, une causalité partielle de X sur Y avec d’autres causes de Y, une simple coïncidence

Compléments

📌 L’établissement d’une relation de cause à effet nécessite une démarche expérimentale.

💡 Astuce mémo

Une relation observée peut venir de X, de Y, d’une troisième variable ou du hasard

📖 6. Régression linéaire simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Régression linéaire simple : Explique une variable numérique Y à partir d’une variable numérique X au moyen d’un modèle linéaire.

• Résidu : L’écart entre la valeur observée de Y et sa valeur prédite par la droite de régression.

★ À maîtriser

📌 En régression simple, Y est la variable à expliquer, aussi appelée critère, réponse ou variable dépendante, tandis que X est la variable explicative, aussi appelée prédicteur ou facteur.

📐 Formule - La droite de régression s’écrit $Y = b_0 + b_1X$, où $b_0$ est l’ordonnée à l’origine et $b_1$ est la pente, ou coefficient de régression.

• Le coefficient de régression b₁ représente le changement prédit de Y pour une augmentation d’une unité de X ; dans l’exemple, une hausse de 1 cm de la taille prédit une hausse de 0,9 kg du poids.

Compléments

• La méthode des moindres carrés choisit la droite qui minimise la somme des carrés des résidus.

• L’ordonnée à l’origine b₀ est la valeur prédite de Y lorsque X = 0, mais son interprétation n’a de sens que si une valeur nulle de X est pertinente.

📐 Formule - La valeur prédite s’écrit $\hat{Y} = b_0 + b_1X$, tandis que le modèle avec erreur s’écrit $Y = b_0 + b_1X + e$.

📖 7. Ajustement et évaluation du modèle

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de détermination : Indique la quantité de variabilité de Y expliquée par X.

★ À maîtriser

• Dans l’exemple taille-poids, r = 0,53 et $R^2 = 0{,}28$, ce qui signifie que la taille explique 28 % de la variabilité du poids.

📌 La significativité du modèle de régression se teste avec un test F, sous l’hypothèse nulle que $R^2$ dans la population parente est égal à zéro.

• Les conditions d’application présentées sont : la linéarité, la normalité des résidus, l’homogénéité de leurs variances, appelée homoscédasticité

Compléments

📐 Formule - La somme des carrés totale vérifie $SC_{\text{Total}} = \sum (Y - \bar{Y})^2$ et se décompose en $SC_{\text{Total}} = SC_{\text{Modèle}} + SC_{\text{Résiduel}}$.

• Pour l’exemple taille-poids, le test du modèle est rapporté ainsi : F(1, 1579) = 627, p < .001.

• En régression linéaire simple, tester la significativité du modèle ou celle de b₁ revient au même et produit la même p-value.

• La régression linéaire sert à :

  • résumer des données
  • tester des théories
  • faire des prédictions

• Avec le modèle Poids = −76 + (0,9 × Taille), le poids prédit pour une taille de 185 cm est de 90,5 kg.

• Pour examiner l’homoscédasticité, on représente les résidus en fonction des valeurs prédites et on vérifie que la largeur du nuage ne varie pas selon les valeurs prédites.