Fiche de révision : Suites numériques et suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de génération
2. Représentation graphique des suites
3. Majoration et minoration des suites
4. Monotonie des suites
5. Définition des suites arithmétiques
6. Termes et sommes arithmétiques
7. Suites géométriques et évolutions
8. Relations entre termes géométriques
9. Sommes géométriques consécutives
10. Encadrement et suites bornées
11. Étude de la monotonie des suites

📖 1. Définition et modes de génération

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Application de ℕ dans ℝ qui associe à chaque entier naturel n un réel uₙ ; uₙ est le terme de rang n, appelé terme général.
• Limite d’une suite : Unique réel fixe vers lequel ses termes tendent lorsque la suite converge.

★ À maîtriser

📌 Une suite définie explicitement donne chaque terme par une formule en fonction de son rang, tandis qu’une suite définie par récurrence nécessite un terme initial et une relation reliant les termes.

Compléments

• La relation uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ, avec u₀ = 1 et u₁ = 1, définit une suite récurrente linéaire d’ordre 2 dont le calcul d’un terme nécessite les deux termes précédents.

• La suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 0,5(uₙ + 2/uₙ) converge très rapidement vers √2.

💡 Astuce mémo

La formule explicite donne directement un terme ; la récurrence passe par les termes précédents.

📖 2. Représentation graphique des suites

★ À maîtriser

• Pour représenter graphiquement une suite explicite uₙ = f(n), on place les points de coordonnées (n ; uₙ) à partir de la représentation de f sur [0 ; +∞[.

• Pour représenter une suite vérifiant uₙ₊₁ = f(uₙ), on part de u₀, on lit son image u₁ sur la courbe de f, puis on reporte alternativement les valeurs sur l’axe des abscisses et sur la droite y = x pour obtenir les termes suivants.

Compléments

• La représentation graphique par récurrence suppose que f est définie et continue sur un intervalle I et que f(I) est inclus dans I.

• La suite définie par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = √(uₙ + 2) est représentée à l’aide de la fonction f(x) = √(x + 2).

💡 Astuce mémo

Pour une récurrence graphique : abscisse uₙ → image f(uₙ) → retour à l’axe des abscisses.

📖 3. Majoration et minoration des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n ∈ ℕ, uₙ ≤ M ; M est alors un majorant de la suite.
• Suite minorée : Une suite est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout n ∈ ℕ, uₙ ≥ m ; m est alors un minorant de la suite.
• Suite bornée : Une suite est bornée s’il existe deux réels m et M tels que, pour tout n ∈ ℕ, m ≤ uₙ ≤ M ; elle est alors à la fois minorée et majorée.

📝 Points essentiels

• Pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou bornée, on peut utiliser un raisonnement direct pour une définition explicite ou un raisonnement par récurrence pour une définition récurrente.

• La suite définie par uₙ = 2/(n² + 1) est minorée par 0 et majorée par 2.

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous.

📖 4. Monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante si, pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0, ce qui équivaut à uₙ ≤ uₙ₊₁.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante si, pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0, ce qui équivaut à uₙ ≥ uₙ₊₁.
• Suite constante : Une suite est constante, ou stationnaire, si uₙ₊₁ = uₙ pour tout n ∈ ℕ.

★ À maîtriser

• La monotonie d’une suite peut s’étudier en examinant le signe de uₙ₊₁ − uₙ, en comparant uₙ₊₁/uₙ à 1 lorsque tous les termes sont positifs, ou en étudiant la croissance de f sur ℝ₊ lorsque uₙ = f(n).

Compléments

• Une suite peut être croissante, décroissante ou stationnaire à partir d’un certain rang n₀.

• Si une suite est constante, tous ses termes sont égaux à u₀.

💡 Astuce mémo

Différence positive : croissance ; différence négative : décroissance.

📖 5. Définition des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Arithmétique s’il existe un réel r indépendant de n tel que, pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = uₙ + r ; r est sa raison.

📝 Points essentiels

• La suite des entiers naturels est arithmétique de premier terme 0 et de raison 1, et la suite des nombres pairs est arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.

• La suite définie par uₙ = 5n − 2 est arithmétique de raison 5.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique avance sur une ligne en ajoutant le même pas r à chaque terme.

📖 6. Termes et sommes arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r est $u_n = u_0 + nr$.

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r et pour tous entiers naturels n et p, $u_n = u_p + (n-p)r$.

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de u₀ à uₙ, la somme vaut $u_0+u_1+\cdots+u_n = (n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$.

Compléments

• Il suffit de connaître la raison et un terme quelconque d’une suite arithmétique pour déterminer tous ses termes.

📐 Formule - La somme des n premiers entiers naturels non nuls est $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.

• La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme.

• Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, la somme S = u₀ + u₁ + ⋯ + uₙ s’écrit (n + 1)u₀ + (1 + 2 + ⋯ + n)r, puis (n + 1)u₀ + n(n + 1)r/2, soit (n + 1)(u₀ + uₙ)/2.

📖 7. Suites géométriques et évolutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite (uₙ) est géométrique s’il existe un réel non nul q, indépendant de n, tel que, pour tout entier n, uₙ₊₁ = q × uₙ ; q est appelé la raison de la suite.

★ À maîtriser

📌 Augmenter une grandeur de t % revient à la multiplier par 1 + t/100, tandis que la diminuer de t % revient à la multiplier par 1 − t/100.

Compléments

• La suite définie par uₙ = −2 × 3ⁿ est géométrique, de premier terme u₀ = −2 et de raison 3.

• Des évolutions successives par augmentation de t % peuvent être modélisées par une suite géométrique de raison 1 + t/100 ; pour une diminution de t %, la raison est 1 − t/100.

• Un capital placé à intérêts composés au taux de 1 % par an suit la relation Cₙ₊₁ = 1,01 × Cₙ et forme une suite géométrique de premier terme 2 000 € et de raison 1,01.

• Une réduction annuelle de 4 % des rejets se modélise par rₙ₊₁ = 0,96 × rₙ ; avec 50 000 tonnes en 2016, la suite a pour premier terme r₀ = 50 000 et pour raison 0,96.

💡 Astuce mémo

Une évolution en pourcentage multiplie par un coefficient : supérieur à 1 pour augmenter, inférieur à 1 pour diminuer.

📖 8. Relations entre termes géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, le terme général est $u_n=u_0q^n$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q, deux termes de rangs p et n vérifient $u_n=u_pq^{n-p}$.

Compléments

📌 Si uₙ = a × qⁿ pour tout entier n, alors uₙ₊₁ = q × uₙ et la suite est géométrique de raison q.

• Si u₆ = 2 et u₉ = 1/4 dans une suite géométrique, alors 1/4 = 2q³ et la raison vaut q = 1/2.

• Dans une suite géométrique de raison 1/2 telle que u₃ = −40, on obtient u₆ = u₃(1/2)³ = −5.

📖 9. Sommes géométriques consécutives

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour q ≠ 1, la somme des puissances de 0 à n vérifie $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q ≠ 1, $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

• Pour q = 1, la somme 1 + q + ⋯ + qⁿ comporte n + 1 termes égaux à 1 et vaut n + 1.

📖 10. Encadrement et suites bornées

★ À maîtriser

• Pour prouver par récurrence qu’une suite vérifie un encadrement, on vérifie l’encadrement au rang initial, on suppose qu’il est vrai au rang n, puis on utilise la relation de récurrence pour établir l’encadrement au rang n + 1.

Compléments

• Pour uₘ = 2/(m² + 1), on a 0 ≤ uₘ ≤ 2 pour tout m naturel, donc cette suite est bornée.

• Pour u₀ = 10 et uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 10, la récurrence permet d’établir 10 ≤ uₙ ≤ 500 pour tout n naturel.

• Pour u₀ = 0 et uₙ₊₁ = (2uₙ + 3)/(uₙ + 4), la croissance de f(x) = (2x + 3)/(x + 4) sur [0 ; +∞[ permet de démontrer par récurrence que 0 ≤ uₙ ≤ 1.

• La propriété −1 ≤ cos(n) ≤ 1 entraîne −1 ≤ −3 sin(n) + 2 ≤ 5 pour tout n naturel dans l’exemple du cours ; la suite considérée y est donc bornée.

📖 11. Étude de la monotonie des suites

★ À maîtriser

📌 Si uₙ₊₁ − uₙ est positif pour tout n, la suite est croissante ; s’il est négatif pour tout n, elle est décroissante.

Compléments

• Pour uₙ = 1 + 1/n, on a uₙ₊₁ − uₙ = −1/[n(n + 1)] < 0 pour n ≥ 1 ; la suite est décroissante.

• Pour uₙ = 1 + 1/1 + 1/2 + ⋯ + 1/n, on a uₙ₊₁ − uₙ = 1/(n + 1) > 0 ; la suite est croissante.

• Si u₀ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ + n² + 3n + 1, alors uₙ₊₁ − uₙ = n² + 3n + 1 > 0 pour n naturel et la suite est croissante.

• Pour u₀ = 10 et uₙ₊₁ = uₙ + (−1)ⁿ, la différence uₙ₊₁ − uₙ change de signe selon la parité de n ; la suite n’est pas monotone.

• Pour établir par récurrence qu’une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ) est croissante, on vérifie d’abord u₀ ≤ u₁, puis on utilise la croissance de f et l’hypothèse uₙ ≤ uₙ₊₁ pour obtenir uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂.

• Pour u₀ = 0 et uₙ₊₁ = √(uₙ + 2), la fonction f(x) = √(x + 2) est utilisée pour démontrer par récurrence que 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 4.

💡 Astuce mémo

Différence de signe constant : monotonie ; signe qui alterne : pas de monotonie.