QCM : Suites numériques et suites arithmétiques (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une suite est définie par une valeur initiale et par une relation qui permet de calculer chaque terme à partir de termes précédents. Quel mode de définition est utilisé ?

Une définition explicite
Une définition par représentation graphique
Une définition par sa limite
Une définition par récurrence

Une définition par récurrence

Explication

Une définition par récurrence repose sur un terme initial et une relation entre les termes. Une formule explicite exprime chaque terme selon son rang, une représentation graphique décrit un mode de visualisation, et une limite caractérise le comportement de la suite.

2. Dans une suite numérique, que désigne le terme général unu_n ?

L’entier naturel qui indique le rang
Le réel associé à l’entier naturel n
La limite vers laquelle tend la suite
La relation utilisée pour calculer le terme suivant

Le réel associé à l’entier naturel n

Explication

Une suite associe à chaque entier naturel n un réel unu_n, qui est le terme de rang n. L’indice est l’entier n, la limite décrit une convergence, et une relation de récurrence relie des termes.

3. Pour représenter graphiquement une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), on connaît u0u_0. Après avoir lu u1=f(u0)u_1=f(u_0) sur la courbe de f, quelle étape permet de poursuivre la construction ?

Calculer directement tous les termes à partir du rang n
Reprendre u₀ comme abscisse puis lire une nouvelle image
Reporter u₁ sur l’axe des ordonnées puis lire f(u₀)
Reporter u₁ sur l’axe des abscisses puis répéter le parcours

Reporter u₁ sur l’axe des abscisses puis répéter le parcours

Explication

La construction alterne la lecture de l’image sur la courbe et le report du terme obtenu sur l’axe des abscisses, en s’aidant de la droite y=xy=x. Reprendre u₀ ne donne pas le terme suivant, et le parcours ne consiste ni à répéter la même image ni à calculer directement tous les termes.

4. Une suite est donnée explicitement par un=f(n)u_n=f(n). Quelle représentation graphique faut-il construire à partir de la courbe de f sur [0;+fty[[0;+fty[ ?

Le parcours alterné entre la courbe de f et y = x
Le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ)
Le nuage de points de coordonnées (uₙ ; n)
La courbe complète de f comme représentation de la suite

Le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ)

Explication

Pour une suite explicite, chaque terme se représente par le point de coordonnées (n ; uₙ), à partir de la fonction f. Inverser les coordonnées échange rang et valeur, le parcours avec y=xy=x concerne une définition par récurrence, et la courbe de f n’est pas le nuage des termes.

5. Pour la suite définie par u0=10u_0=10 et un+1=un+(−1)nu_{n+1}=u_n+(-1)^n, quelle conclusion peut-on tirer de la variation du signe de un+1−unu_{n+1}-u_n ?

La suite est croissante, car ses termes alternent entre deux valeurs.
La suite n’est pas monotone, car les différences successives changent de signe.
La suite est décroissante, car les différences sont négatives pour les rangs impairs.
La suite est stationnaire, car les différences successives ont la même valeur absolue.

La suite n’est pas monotone, car les différences successives changent de signe.

Explication

Les différences valent alternativement 11 et −1-1, donc leur signe change et la suite n’est ni croissante ni décroissante. Le fait que les différences aient la même valeur absolue ne rend pas la suite stationnaire, qui exigerait des différences nulles.

6. Quel est le rôle de la raison rr dans la définition d’une suite arithmétique ?

Elle donne le rang à partir duquel les termes deviennent constants.
Elle représente le facteur constant par lequel chaque terme est multiplié.
Elle indique la valeur du premier terme de la suite.
Elle représente l’écart constant ajouté à chaque terme pour obtenir le suivant.

Elle représente l’écart constant ajouté à chaque terme pour obtenir le suivant.

Explication

La raison rr est la différence constante entre deux termes consécutifs, car un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r. Un facteur multiplicatif constant caractérise plutôt une suite géométrique.

7. Une suite arithmétique commence par u0=4u_0=4 et sa raison vaut 33. Quelle est la somme u0+u1+u2+u3u_0+u_1+u_2+u_3 ?

2222, obtenue en multipliant la somme des extrêmes par le nombre de termes
2828, obtenue en multipliant le dernier terme par le nombre de termes
3434, obtenue en multipliant le nombre de termes par la moyenne des extrêmes
3030, obtenue en additionnant la raison au premier terme puis en multipliant par quatre

$$34$$, obtenue en multipliant le nombre de termes par la moyenne des extrêmes

Explication

Les quatre termes sont 4,7,10,134,7,10,13 ; leur somme est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier, soit 4×4+132=344\times\frac{4+13}{2}=34. Multiplier le dernier terme par le nombre de termes ne convient pas, car les termes intermédiaires sont inférieurs au dernier.

8. Quelle différence distingue une évolution successive en pourcentage d’une suite géométrique générale ?

L’évolution en pourcentage ne peut modéliser qu’une diminution, tandis qu’une suite géométrique décrit une augmentation.
L’évolution en pourcentage ajoute une variation fixe, tandis qu’une suite géométrique multiplie chaque terme par une raison.
L’évolution en pourcentage impose une raison déterminée par le taux, tandis qu’une suite géométrique peut avoir toute raison non nulle.
L’évolution en pourcentage dépend du terme précédent, tandis qu’une suite géométrique dépend directement du rang.

L’évolution en pourcentage impose une raison déterminée par le taux, tandis qu’une suite géométrique peut avoir toute raison non nulle.

Explication

Une variation de taux donné correspond à la multiplication par un coefficient fixé par ce taux, comme 1+t/1001+t/100 pour une hausse. Une suite géométrique possède aussi un coefficient multiplicatif constant, mais celui-ci n’est pas forcément lié à un taux de pourcentage précisé.

9. Dans une suite géométrique, quel effet a l’écart entre deux rangs sur le calcul du terme de rang n à partir de celui de rang p ?

Il impose de diviser le terme de rang p par la différence des rangs.
Il détermine le nombre de fois où l’on ajoute la raison au terme de rang p.
Il détermine l’exposant de la raison, égal à la différence des rangs.
Il fixe le terme de départ à utiliser, quel que soit le rang p.

Il détermine l’exposant de la raison, égal à la différence des rangs.

Explication

Chaque passage d’un rang au suivant multiplie le terme par la raison, donc un écart de n−p rangs conduit au facteur qn−pq^{n-p}. L’addition répétée de la raison caractérise une suite arithmétique, pas une suite géométrique.

10. Une suite géométrique commence par u0=3u_0=3 et a pour raison q=2q=2. Comment calculer u0+u1+u2+u3u_0+u_1+u_2+u_3 à l’aide de la formule de somme des termes consécutifs ?

Calculer 41−241−24\frac{1-2^4}{1-2}, ce qui donne 6060.
Calculer 31−241−23\frac{1-2^4}{1-2}, ce qui donne 4545.
Calculer 31−241+23\frac{1-2^4}{1+2}, ce qui donne 1515.
Calculer 31−231−23\frac{1-2^3}{1-2}, ce qui donne 2121.

Calculer $$3\frac{1-2^4}{1-2}$$, ce qui donne $$45$$.

Explication

La somme de u0u_0 à u3u_3 comporte quatre termes et vaut u01−q41−qu_0\frac{1-q^{4}}{1-q}, soit 4545 avec les valeurs données. L’expression avec l’exposant 33 omet un terme, car la formule fait intervenir n+1n+1 puissances de la raison.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Suites numériques et suites arithmétiques.

Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

Une application de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R} associant à chaque entier naturel nn un réel unu_n.

Comment distingue-t-on une suite explicite d’une suite récurrente ?

Une suite explicite donne chaque terme en fonction de son rang ; une suite récurrente repose sur un terme initial et une relation entre les termes.

Comment représenter graphiquement la suite explicite un=f(n)u_n=f(n) ?

On place les points de coordonnées (n;un)(n;u_n) à partir de la courbe de ff sur [0;+[.[0;+[.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Suites numériques et suites arithmétiques.

Voir la fiche →

Cours similaires

Statistiques descriptives et modèles linéaires

Technologies de fabrication

Coping et soutien social

Fonctions et calculs numériques

Mathématiques

Darwin et la pensée évolutionniste

SVT

Attachement et personnalité

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM