QCM : Statistiques descriptives et suites — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que caractérise la médiane d’une série statistique ordonnée ?

Elle correspond à la somme des valeurs divisée par leur nombre.
Elle indique la valeur la plus fréquente de la série.
Elle partage les effectifs en deux groupes de même taille.
Elle mesure la distance entre le premier et le troisième quartile.

Elle partage les effectifs en deux groupes de même taille.

Explication

La médiane est une valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif. La moyenne, contrairement à la médiane, est calculée à partir des valeurs numériques.

2. Une série ordonnée comporte 8 valeurs. Comment calcule-t-on sa médiane ?

On retient la valeur classée au rang 5.
On fait la moyenne des valeurs classées aux rangs 3 et 4.
On fait la moyenne des valeurs classées aux rangs 4 et 5.
On retient la valeur classée au rang 4.

On fait la moyenne des valeurs classées aux rangs 4 et 5.

Explication

Pour un effectif pair N=8N=8, la médiane est la moyenne des valeurs situées aux rangs N/2=4N/2=4 et N/2+1=5N/2+1=5. Pour un effectif impair, on retiendrait une seule valeur centrale de la série.

3. Quelle propriété définit le premier quartile Q1Q_1 d’une série statistique ?

C’est la plus petite valeur ayant au moins 25 % des données inférieures ou égales.
C’est la plus grande valeur ayant au moins 75 % des données inférieures ou égales.
C’est la moyenne des deux valeurs situées au centre de la série.
C’est la valeur qui partage les données en deux groupes de même effectif.

C’est la plus petite valeur ayant au moins 25 % des données inférieures ou égales.

Explication

Le premier quartile Q1Q_1 est la plus petite valeur à laquelle au moins 25 % des données sont inférieures ou égales. La médiane correspond, elle, au partage de la série en deux groupes de même effectif.

4. Quelle expression permet de calculer la moyenne d’une série comportant des valeurs répétées ?

xˉ=n1+n2+⋯+npx1+x2+⋯+xp\bar{x}=\frac{n_1+n_2+\cdots+n_p}{x_1+x_2+\cdots+x_p}
xˉ=x1+x2+⋯+xpN\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_p}{N}
xˉ=n1x1+n2x2+⋯+npxpN\bar{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}
xˉ=Nn1x1+n2x2+⋯+npxp\bar{x}=\frac{N}{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}

$$\bar{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}$$

Explication

La moyenne pondère chaque valeur xix_i par son effectif nin_i, puis divise la somme obtenue par l’effectif total NN. Une moyenne ne se calcule donc pas en additionnant les valeurs distinctes sans tenir compte de leurs répétitions.

5. Quelle formule définit l’écart-type σ\sigma d’une série statistique de moyenne xˉ\bar{x} ?

σ=n1(x1−xˉ)2+⋯+np(xp−xˉ)2N\sigma=\frac{n_1(x_1-\bar{x})^2+\cdots+n_p(x_p-\bar{x})^2}{N}
σ=n1(x1−xˉ)+⋯+np(xp−xˉ)N\sigma=\sqrt{\frac{n_1(x_1-\bar{x})+\cdots+n_p(x_p-\bar{x})}{N}}
σ=n1x1+⋯+npxpN\sigma=\frac{n_1x_1+\cdots+n_px_p}{N}
σ=n1(x1−xˉ)2+⋯+np(xp−xˉ)2N\sigma=\sqrt{\frac{n_1(x_1-\bar{x})^2+\cdots+n_p(x_p-\bar{x})^2}{N}}

$$\sigma=\sqrt{\frac{n_1(x_1-\bar{x})^2+\cdots+n_p(x_p-\bar{x})^2}{N}}$$

Explication

L’écart-type est la racine carrée de la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne. La formule qui ne contient pas les carrés ou qui omet la racine ne définit pas l’écart-type.

6. Quelle comparaison entre la moyenne, l’écart-type, la médiane et l’écart interquartile est correcte face aux valeurs extrêmes ?

La moyenne et l’écart-type sont influencés par les valeurs extrêmes, contrairement à la médiane et à l’écart interquartile.
La médiane et l’écart interquartile sont influencés par les valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne et à l’écart-type.
Les quatre indicateurs sont influencés de manière comparable par les valeurs extrêmes.
La moyenne et la médiane résistent aux valeurs extrêmes, contrairement aux deux mesures de dispersion.

La moyenne et l’écart-type sont influencés par les valeurs extrêmes, contrairement à la médiane et à l’écart interquartile.

Explication

La moyenne et l’écart-type utilisent toutes les valeurs, ce qui les rend sensibles aux valeurs extrêmes. La médiane et l’écart interquartile sont moins influencés par ces valeurs.

7. Quels paramètres peut-on lire sur un diagramme en boîte ?

La valeur minimale, Q1Q_1, la médiane, Q3Q_3 et la valeur maximale.
La moyenne, l’écart-type, Q1Q_1, Q3Q_3 et la valeur maximale.
La valeur minimale, la moyenne, l’écart interquartile, Q3Q_3 et la valeur maximale.
La valeur minimale, Q1Q_1, la variance, la médiane et la valeur maximale.

La valeur minimale, $$Q_1$$, la médiane, $$Q_3$$ et la valeur maximale.

Explication

Un diagramme en boîte représente les cinq paramètres suivants : minimum, premier quartile, médiane, troisième quartile et maximum. L’écart interquartile est calculé à partir de Q1Q_1 et Q3Q_3, mais il ne constitue pas l’un des cinq paramètres directement représentés.

8. Une boîte à moustaches présente une boîte délimitée par Q1Q_1 et Q3Q_3, ainsi qu’un trait intérieur. Que représente ce trait ?

La médiane de la série.
La valeur minimale de la série.
L’écart interquartile de la série.
La moyenne de la série.

La médiane de la série.

Explication

Le trait placé à l’intérieur de la boîte indique la médiane, tandis que les extrémités des moustaches correspondent aux valeurs minimale et maximale. La moyenne et l’écart interquartile ne sont pas les éléments définissant ce trait.

9. Quand une suite est-elle dite définie explicitement ?

Lorsqu’un terme dépend du terme précédent par une relation
Lorsqu’un premier terme est donné sans formule associée
Lorsqu’un terme est obtenu à partir d’un graphique continu
Lorsqu’un terme dépend directement de son rang dans une formule

Lorsqu’un terme dépend directement de son rang dans une formule

Explication

Une suite est explicite lorsqu’une formule donne directement un terme en fonction de son rang nn. Une relation entre deux termes successifs caractérise plutôt une définition par récurrence.

10. Comment calculer le terme de rang 7 d’une suite définie par la formule un=3n−1u_n=3n-1 ?

Calculer d’abord les six termes précédents
Lire l’ordonnée du point d’abscisse 3
Remplacer nn par 7 dans la formule
Ajouter 7 au premier terme de la suite

Remplacer $$n$$ par 7 dans la formule

Explication

Pour une suite explicitement définie, il suffit de substituer la valeur du rang dans la formule, ce qui donne ici u7=3×7−1u_7=3\times 7-1. Le calcul des termes précédents est nécessaire dans une définition par récurrence, pas dans ce cas.

11. Quelle caractéristique définit une suite par récurrence ?

Un nuage de points de coordonnées entières
Une formule donnant chaque terme selon son rang
Une courbe continue reliant les valeurs successives
Un premier terme et une relation avec le terme précédent

Un premier terme et une relation avec le terme précédent

Explication

Une suite récurrente est déterminée par un premier terme et une relation permettant d’obtenir chaque terme à partir du précédent. Une formule directe en fonction du rang correspond à une définition explicite.

12. Pour obtenir un terme éloigné d’une suite définie par récurrence, quelle méthode faut-il appliquer ?

Remplacer directement le rang dans une formule connue
Relier les points du graphique puis lire leur ordonnée
Calculer les termes intermédiaires successivement depuis le premier
Utiliser le terme suivant pour retrouver le terme recherché

Calculer les termes intermédiaires successivement depuis le premier

Explication

Une suite récurrente se calcule de proche en proche à partir du premier terme, en déterminant les termes intermédiaires. Elle ne fournit pas directement un terme quelconque comme une formule explicite.

13. Comment représente-t-on graphiquement une suite (un)\left(u_n\right) dans un repère ?

Par la courbe continue d’équation y=uny=u_n
Par les points de coordonnées (un;n)(u_n;n)
Par le segment joignant le premier et le dernier terme
Par le nuage des points de coordonnées (n;un)(n;u_n)

Par le nuage des points de coordonnées $$(n;u_n)$$

Explication

La représentation graphique d’une suite est le nuage des points (n;un)(n;u_n), avec nn entier naturel. Une suite ne se représente pas en inversant les coordonnées et ne conduit pas nécessairement à une courbe continue.

14. Que doit-on faire des points représentant graphiquement une suite ?

Les remplacer par une droite d’ajustement
Les laisser séparés les uns des autres
Les réunir en une courbe continue
Les relier par des segments successifs

Les laisser séparés les uns des autres

Explication

Les points d’une suite restent séparés, car les rangs sont des entiers naturels et ne forment pas un intervalle continu. Relier les points donnerait une représentation de type courbe, inadaptée à la règle graphique des suites.

15. Quelle condition caractérise une suite croissante _a_n ?

Pour tout entier naturel nn, un+1≥unu_{n+1}\geq u_n
Pour tout entier naturel nn, un+1≤unu_{n+1}\leq u_n
Pour tout entier naturel nn, un+1=unu_{n+1}=u_n
Pour tout entier naturel nn, un+1<unu_{n+1}\lt u_n

Pour tout entier naturel $$n$$, $$u_{n+1}\geq u_n$$

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme suivant est supérieur ou égal au terme précédent, ce qui s’écrit un+1≥unu_{n+1}\geq u_n. L’inégalité un+1≤unu_{n+1}\leq u_n décrit une suite décroissante.

16. Une suite vérifie un+1≤unu_{n+1}\leq u_n pour tout entier naturel nn. Comment qualifie-t-on cette suite ?

Elle est constante
Elle est décroissante
Elle est alternée
Elle est croissante

Elle est décroissante

Explication

La condition un+1≤unu_{n+1}\leq u_n signifie que chaque terme ne dépasse pas le précédent ; la suite est donc décroissante. Une suite croissante vérifie au contraire un+1≥unu_{n+1}\geq u_n.

17. Pour étudier les variations d’une suite, quelle quantité faut-il calculer en priorité ?

Le produit un+1×unu_{n+1}\times u_n
Le quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}
La somme un+1+unu_{n+1}+u_n
La différence un+1−unu_{n+1}-u_n

La différence $$u_{n+1}-u_n$$

Explication

Le signe de la différence un+1−unu_{n+1}-u_n permet de déterminer le sens de variation : une différence positive ou nulle indique une suite croissante, tandis qu’une différence négative ou nulle indique une suite décroissante. Le quotient peut être utile dans certaines méthodes, mais il ne constitue pas la règle générale donnée ici.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 32 flashcards sur Statistiques descriptives et suites.

Qu'est-ce que la médiane d'une série statistique ordonnée ?

Un nombre qui partage la série en deux groupes de même effectif.

Comment calcule-t-on la médiane pour une série de taille impaire ?

C'est la valeur classée au rang (N+1)/2(N+1)/2.

Comment calcule-t-on la médiane pour une série de taille paire ?

C'est la moyenne des valeurs aux rangs N/2N/2 et N/2+1N/2+1.

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