Fiche de révision : Suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et raison
2. Terme général et variations
3. Modèle discret et exemple
4. Somme des termes consécutifs
5. Moyenne arithmétique
6. Synthèse des propriétés

📖 1. Définition et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dans laquelle on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur r, appelée la raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$, et la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante.

Compléments

• Les nombres -2, 5 et 12 sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 7, car $5-(-2)=7$ et $12-5=7$.

💡 Astuce mémo

Ajouter toujours r → différence constante

📖 2. Terme général et variations

★ À maîtriser

📐 Formule — Si le premier terme est u_0, le terme général d’une suite arithmétique est $u_n=u_0+nr$; s’il est u_1, il est $u_n=u_1+(n-1)r$; entre les termes de rang p et n, il est $u_n=u_p+(n-p)r$.

📌 Une suite arithmétique est croissante si r>0, décroissante si r<0 et constante si r=0.

Compléments

• Dans l’exemple de l’athlète, la distance parcourue au jour n est donnée par $u_n=3000+150n$ mètres, avec u_0=3000 mètres et une raison de 150 mètres.

💡 Astuce mémo

r>0 croissante, r<0 décroissante, r=0 constante

📖 3. Modèle discret et exemple

★ À maîtriser

📐 Formule — La représentation graphique d’une suite arithmétique est un nuage de points alignés, car la relation $u_n=u_0+rn$ correspond à la fonction affine $f(x)=u_0+rx$.

Compléments

• Dans l’entraînement de l’athlète, on obtient u_3=3450 mètres et u_4=3600 mètres après une augmentation quotidienne de 150 mètres.

💡 Astuce mémo

Des points alignés sur une droite, comme une croissance par marches régulières

📖 4. Somme des termes consécutifs

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme : $S=N\times\frac{u_{premier}+u_{dernier}}{2}$.

Compléments

• La somme des distances de l’athlète du jour 0 au jour 15 vaut 16×(3000+5250)/2=66000 mètres, soit 66 kilomètres.

• La somme des distances de l’athlète du jour 8 au jour 12 vaut 5×(4200+4800)/2=22500 mètres, soit 22,5 kilomètres.

💡 Astuce mémo

Compter les termes → prendre le premier et le dernier → diviser par 2

📖 5. Moyenne arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : Somme de deux nombres divisée par 2 ; par exemple, la moyenne arithmétique de -3 et 19 est 8.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans une suite arithmétique, chaque terme est la moyenne arithmétique de ses deux voisins : $u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$.

💡 Astuce mémo

Le terme central est la moyenne de ses deux voisins

📖 6. Synthèse des propriétés

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour sommer les termes de u_3 à u_10, il faut utiliser 8 termes et appliquer $u_3+\cdots+u_{10}=8\times\frac{u_3+u_{10}}{2}$.

• Pour une suite arithmétique de raison r=-0,5 et de premier terme u_0=4, on a $u_n=4-0{,}5n$ et la suite est décroissante.

📊 Tableaux de synthèse

Effet de la raison