QCM : Suites et limites (10 questions)

Question 1

1. Une suite $(u_n)$ est étudiée pour vérifier qu’elle tend vers $+infty$. Quelle condition doit être satisfaite pour chaque réel $A>0$ ?

Tous les termes de la suite sont supérieurs à $A$.

Il existe un rang à partir duquel tous les termes sont supérieurs ou égaux à $A$.

Il existe un rang à partir duquel un terme au moins est supérieur à $A$.

Il existe un rang à partir duquel tous les termes sont supérieurs à $A$.

Explication

Tendre vers $+infty$ signifie que, pour chaque réel $A>0$, tous les termes à partir d’un certain rang vérifient $u_n>A$. Dire qu’un seul terme dépasse $A$ ne suffit pas, et la définition demande une inégalité stricte.

Answer

Il existe un rang à partir duquel tous les termes sont supérieurs à $A$.

Question 2

2. Pour un réel fixé $k\ge1$, quelle limite possède la suite définie par $u_n=n^k$ lorsque $n$ tend vers $+infty$ ?

Elle tend vers $1$.

Elle n’a pas de limite.

Elle tend vers zéro.

Elle tend vers $+infty$.

Explication

Pour tout réel fixé $k\ge1$, la puissance $n^k$ tend vers $+infty$ quand $n$ grandit. La limite nulle concerne plutôt des expressions inverses comme $1/n^k$.

Answer

Elle tend vers $+infty$.

Question 3

3. Une suite $(u_n)$ est annoncée convergente vers $L$. Quelle propriété doit vérifier chaque $epsilon>0$ ?

À partir d’un certain rang, tous les termes sont entre $L-\epsilon$ et $L+\epsilon$.

À partir d’un certain rang, tous les termes sont supérieurs à $L-\epsilon$.

Pour tout rang, les termes sont entre $L-\epsilon$ et $L+\epsilon$.

À partir d’un certain rang, tous les termes sont entre $L-\epsilon/2$ et $L+\epsilon/2$.

Explication

La convergence vers $L$ exige que, pour tout $epsilon>0$, les termes finissent par appartenir à l’intervalle ouvert centré en $L$, de bornes $L-\epsilon$ et $L+\epsilon$. Une seule borne ne garantit pas la proximité des deux côtés.

Answer

À partir d’un certain rang, tous les termes sont entre $L-\epsilon$ et $L+\epsilon$.

Question 4

4. On considère la suite définie par $u_n=\frac{3n}{n+1}$. En utilisant l’exemple de la suite $frac{2n}{n+1}$, vers quelle limite cette suite converge-t-elle ?

Vers $1$.

Vers $0$.

Vers $3$.

Vers $2$.

Explication

On peut écrire $\frac{3n}{n+1}=\frac{3}{1+1/n}$; comme $1/n$ tend vers zéro, la limite est $3$. La limite $2$ correspond à la suite dont le numérateur est $2n$.

Answer

Elle n’a pas de limite ou sa limite est infinie.

Answer

Le produit est une forme indéterminée et sa limite ne se déduit pas directement de ces règles.

Answer

Elle garantit que la limite du quotient est définie comme $$\frac{L}{L'}$$.

Answer

Une forme indéterminée exige de transformer l’expression avant de déterminer sa limite.

Answer

Elle tend vers $$-\infty$$, car ses termes deviennent inférieurs à tout réel fixé.

Answer

Qu’à partir d’un certain rang, ses termes appartiennent à l’intervalle $$]2-\varepsilon,2+\varepsilon[$$.

Question 5

5. Que signifie qu’une suite diverge ?

Ses termes alternent entre deux valeurs fixes.

Elle n’a pas de limite ou sa limite est infinie.

Elle se rapproche d’un réel sans jamais l’atteindre.

Elle ne possède pas de limite finie, mais reste bornée.

Explication

Une suite diverge lorsqu’elle n’a pas de limite ou lorsque sa limite est infinie. Une alternance entre deux valeurs peut illustrer l’absence de limite, mais ce n’est pas la définition générale de la divergence.

Question 6

6. Si une suite tend vers $0$ et qu’une autre tend vers l’infini, que peut-on conclure sur la limite de leur produit à partir des règles de somme et de produit ?

Le produit tend vers l’infini avec le signe du facteur qui diverge.

Le produit tend vers

+

ou

-

selon le signe du facteur divergent.

Le produit tend vers

0

, car le facteur de limite nulle détermine le résultat.

Le produit est une forme indéterminée et sa limite ne se déduit pas directement de ces règles.

Explication

Le produit d’une suite tendant vers $0$ et d’une suite tendant vers l’infini est une forme indéterminée, donc ces seules limites ne suffisent pas à déterminer le résultat. En particulier, le fait qu’un facteur tende vers zéro ne garantit pas que le produit tende vers zéro.

Question 7

7. Quel est le rôle de la condition $L'\ne0$ dans la règle de limite d’un quotient lorsque $u_n\to L$ et $v_n\to L'$ ?

Elle garantit que la limite du quotient est définie comme

\frac{L}{L'}

.

Elle indique que le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l’infini.

Elle permet de conclure que le quotient tend vers l’infini, quel que soit le signe de

L'

.

Elle garantit que le quotient tend vers zéro, quelle que soit la limite du numérateur.

Explication

Une limite de dénominateur non nulle permet d’appliquer la règle du quotient et d’obtenir $\frac{L}{L'}$ . Si le dénominateur tend vers zéro, cette règle ne s’applique pas sous cette forme.

Question 8

8. Quelle différence distingue une forme indéterminée d’une limite que l’on peut conclure directement par les règles de calcul des limites ?

Une forme indéterminée exige de transformer l’expression avant de déterminer sa limite.

Une forme indéterminée signifie que la suite ne possède aucune limite.

Une limite conclue directement apparaît lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l’infini.

Une limite conclue directement exige de factoriser le terme général avant tout calcul.

Explication

Dans une forme indéterminée, les seules limites des éléments de l’expression ne suffisent pas ; il faut souvent réécrire le terme général, par exemple par factorisation. À l’inverse, lorsque le numérateur tend vers une limite finie et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend directement vers zéro.

Question 9

9. Si une suite tend vers $+\infty$ , quelle conséquence sa suite opposée présente-t-elle ?

Elle tend vers

+\infty

, car l’opposition conserve le sens de la divergence.

Elle tend vers

0

, car le changement de signe réduit la taille des termes.

Elle n’a pas de limite, car l’opposition fait alterner les signes des termes.

Elle tend vers

-\infty

, car ses termes deviennent inférieurs à tout réel fixé.

Explication

Changer le signe des termes d’une suite qui tend vers $+\infty$ produit une suite qui tend vers $-\infty$ . L’opposition ne fait pas alterner les signes : elle inverse le signe de chaque terme.

Question 10

10. Pour établir que la suite $u_n=\frac{2n}{n+1}$ converge vers $2$ à l’aide de la définition d’une limite finie, que faut-il montrer pour tout $\varepsilon>0$ ?

Qu’à partir d’un certain rang, ses termes sont tous supérieurs à

2+\varepsilon

.

Que ses termes appartiennent à cet intervalle pour un nombre fini de rangs.

Qu’à partir d’un certain rang, ses termes appartiennent à l’intervalle

]2-\varepsilon,2+\varepsilon[

.

Que tous ses termes, dès le premier rang, sont égaux à

2

.

Explication

La convergence vers $2$ signifie que, pour chaque $\varepsilon>0$ , tous les termes à partir d’un certain rang sont compris entre $2-\varepsilon$ et $2+\varepsilon$ . Il ne s’agit pas de montrer que les termes dépassent la borne supérieure, mais qu’ils restent proches de $2$ .

QCM : Suites et limites (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une suite $(u_n)$ est étudiée pour vérifier qu’elle tend vers $+infty$. Quelle condition doit être satisfaite pour chaque réel $A>0$ ?

2. Pour un réel fixé $k\ge1$, quelle limite possède la suite définie par $u_n=n^k$ lorsque $n$ tend vers $+infty$ ?

3. Une suite $(u_n)$ est annoncée convergente vers $L$. Quelle propriété doit vérifier chaque $epsilon>0$ ?

4. On considère la suite définie par $u_n=\frac{3n}{n+1}$. En utilisant l’exemple de la suite $frac{2n}{n+1}$, vers quelle limite cette suite converge-t-elle ?

5. Que signifie qu’une suite diverge ?

6. Si une suite tend vers $0$ et qu’une autre tend vers l’infini, que peut-on conclure sur la limite de leur produit à partir des règles de somme et de produit ?

7. Quel est le rôle de la condition $L'\ne0$ dans la règle de limite d’un quotient lorsque $u_n\to L$ et $v_n\to L'$ ?

8. Quelle différence distingue une forme indéterminée d’une limite que l’on peut conclure directement par les règles de calcul des limites ?

9. Si une suite tend vers $+\infty$ , quelle conséquence sa suite opposée présente-t-elle ?

10. Pour établir que la suite $u_n=\frac{2n}{n+1}$ converge vers $2$ à l’aide de la définition d’une limite finie, que faut-il montrer pour tout $\varepsilon>0$ ?

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QCM : Suites et limites (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une suite $(u_n)$ est étudiée pour vérifier qu’elle tend vers $+infty$. Quelle condition doit être satisfaite pour chaque réel $A>0$ ?

2. Pour un réel fixé $k\ge1$, quelle limite possède la suite définie par $u_n=n^k$ lorsque $n$ tend vers $+infty$ ?

3. Une suite $(u_n)$ est annoncée convergente vers $L$. Quelle propriété doit vérifier chaque $epsilon>0$ ?

4. On considère la suite définie par $u_n=\frac{3n}{n+1}$. En utilisant l’exemple de la suite $frac{2n}{n+1}$, vers quelle limite cette suite converge-t-elle ?

5. Que signifie qu’une suite diverge ?

6. Si une suite tend vers 000 et qu’une autre tend vers l’infini, que peut-on conclure sur la limite de leur produit à partir des règles de somme et de produit ?

7. Quel est le rôle de la condition L′≠0L'\ne0L′=0 dans la règle de limite d’un quotient lorsque un→Lu_n\to Lun​→L et vn→L′v_n\to L'vn​→L′ ?

8. Quelle différence distingue une forme indéterminée d’une limite que l’on peut conclure directement par les règles de calcul des limites ?

9. Si une suite tend vers +∞+\infty+∞, quelle conséquence sa suite opposée présente-t-elle ?

10. Pour établir que la suite un=2nn+1u_n=\frac{2n}{n+1}un​=n+12n​ converge vers 222 à l’aide de la définition d’une limite finie, que faut-il montrer pour tout ε>0\varepsilon>0ε>0 ?

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7. Quel est le rôle de la condition $L'\ne0$ dans la règle de limite d’un quotient lorsque $u_n\to L$ et $v_n\to L'$ ?

9. Si une suite tend vers $+\infty$ , quelle conséquence sa suite opposée présente-t-elle ?

10. Pour établir que la suite $u_n=\frac{2n}{n+1}$ converge vers $2$ à l’aide de la définition d’une limite finie, que faut-il montrer pour tout $\varepsilon>0$ ?