Fiche de révision : Suites et limites

📋 Plan du Cours

1. Limites infinies des suites
2. Limite finie et convergence
3. Suites divergentes et oscillantes
4. Opérations de somme et produit
5. Limites d’un quotient
6. Lever les formes indéterminées

📖 1. Limites infinies des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : Une suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ lorsque, pour tout réel $A>0$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\ge n_0$, $u_n>A$.
• Algorithme de seuil : Un algorithme de seuil détermine un rang à partir duquel tous les termes d’une suite croissante de limite infinie dépassent un réel fixé, ou tous les termes d’une suite décroissante de limite infinie sont inférieurs à ce réel.

★ À maîtriser

• On a $\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty$ et, pour tout réel $k\ge1$, $\lim_{n\to+\infty}n^k=+\infty$.

Compléments

• Si une suite tend vers $+\infty$, son opposée tend vers $-\infty$ ; par exemple, $-n^2$ tend vers $-\infty$.

💡 Astuce mémo

+∞ : les termes dépassent tout seuil ; −∞ : ils restent sous tout seuil.

📖 2. Limite finie et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Une suite $(u_n)$ tend vers le réel $L$ lorsque, pour tout réel $\varepsilon>0$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\ge n_0$, $L-\varepsilon<u_n<L+\varepsilon$.

📝 Points essentiels

• Lorsqu’elle existe, la limite finie d’une suite est unique.

• La suite définie par $u_n=\frac{2n}{n+1}$ a pour limite $2$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Imaginez un intervalle de plus en plus étroit autour de L, qui finit par contenir tous les termes.

📖 3. Suites divergentes et oscillantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence : Une suite converge vers $L$ lorsqu’elle a pour limite un réel fini $L$.
• Divergence : Une suite diverge lorsqu’elle n’a pas de limite ou que sa limite est infinie.

📝 Points essentiels

• La suite définie par $u_n=(-1)^n$, dont les termes alternent entre $1$ et $-1$, n’admet pas de limite.

💡 Astuce mémo

Converger, c’est se rapprocher d’un réel ; diverger, c’est ne pas avoir de limite finie.

📖 4. Opérations de somme et produit

★ À maîtriser

• Si $u_n\to L$ et $v_n\to L'$, alors $u_n+v_n\to L+L'$ ; si l’une des limites est finie et l’autre vaut $+\infty$ ou $-\infty$, la somme tend vers cet infini.

• La somme de deux suites dont les limites sont respectivement $-\infty$ et $+\infty$ est une forme indéterminée, et sa limite ne peut pas être conclue par la règle de somme.

• Le produit de deux suites de limites finies $L$ et $L'$ tend vers $LL'$ ; le produit de deux suites tendant vers l’infini tend vers l’infini, avec le signe déterminé par la règle des signes.

Compléments

📌 La somme de deux suites tendant toutes deux vers $+\infty$ tend vers $+\infty$, et la somme de deux suites tendant toutes deux vers $-\infty$ tend vers $-\infty$.

📌 Le produit d’une suite tendant vers $0$ et d’une suite tendant vers l’infini est une forme indéterminée.

📖 5. Limites d’un quotient

★ À maîtriser

📌 Si $u_n\to L$ et $v_n\to L'\ne0$, alors $\frac{u_n}{v_n}\to\frac{L}{L'}$.

📌 Si le numérateur tend vers une limite finie et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers $0$ ; si le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers une limite finie non nulle, le quotient tend vers l’infini, de signe déterminé par la règle des signes.

Compléments

📌 Un quotient dont le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l’infini est une forme indéterminée.

📖 6. Lever les formes indéterminées

★ À maîtriser

• Les quatre formes indéterminées étudiées sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac00$.

• Pour lever une forme indéterminée, on transforme l’écriture du terme général, souvent par factorisation, ou on applique d’autres propriétés de limites.

Compléments

• Pour $u_n=2n^2-n+1$, la factorisation $u_n=2n^2\left(1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n^2}\right)$ montre que $u_n$ tend vers $+\infty$.

• Pour $v_n=\frac{2n-3}{n+1}$, la factorisation par $n$ au numérateur et au dénominateur donne $v_n=\frac{2-3/n}{1+1/n}$, donc $v_n$ tend vers $2$.

• Pour $w_n=\frac{1}{n^2}(n^3+2n)$, le développement donne $w_n=n+\frac2n$, donc $w_n$ tend vers $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Repérer l’indétermination, transformer l’écriture, puis appliquer les règles de limites.