Fiche de révision : Vecteurs et géométrie de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs de l’espace et opérations
2. Colinéarité des vecteurs
3. Caractérisations des droites et plans
4. Parallélisme et positions relatives
5. Bases et repères de l’espace
6. Coordonnées et coplanarité

📖 1. Vecteurs de l’espace et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l’espace : Un vecteur de l’espace est représenté par des segments orientés égaux, qui ont la même direction, le même sens et la même longueur.
• Somme de vecteurs : La somme de $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ est le vecteur $\overrightarrow{AD}$ lorsque ABDC est un parallélogramme.
• Vecteur nul : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est nul lorsque A et B sont confondus, et se note $\vec{0}$.

★ À maîtriser

📌 Pour tous points A, B et C de l’espace, la relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📐 Formule - Pour un vecteur non nul $\vec{u}$ et un réel non nul k, le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le même sens si k est positif et le sens contraire si k est négatif, et sa norme vérifie $\|k\vec{u}\|=|k|\|\vec{u}\|.$

Compléments

📌 Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et tous réels k et k′, on a $0\vec{u}=k\vec{0}=\vec{0}$, $k\vec{u}=\vec{0}$ si et seulement si k=0 ou $\vec{u}=\vec{0}$, $k(k'\vec{u})=(kk')\vec{u}$, $(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}$ et $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$.

• La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ associe à tout point M l’unique point M′ tel que ABM′M soit un parallélogramme, et $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MM'}$.

• Pour tout vecteur $\vec{u}$ et tout point A, il existe un unique point M tel que $\overrightarrow{AM}=\vec{u}$.

📖 2. Colinéarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple réel de l’autre.

📝 Points essentiels

• Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

📖 3. Caractérisations des droites et plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite de l’espace : La droite (AB) est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel k, et $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de cette droite.
• Plan de l’espace : Pour trois points non alignés A, B et C, le plan (ABC) est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, où x et y sont des réels.

★ À maîtriser

• Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Compléments

📌 Pour montrer qu’un point M appartient au plan (ABC), il suffit d’exprimer $\overrightarrow{AM}$ comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, lorsque A, B et C ne sont pas alignés.

• Un point A et deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ déterminent un unique plan, noté $(A,\vec{u},\vec{v})$, dont $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont des vecteurs directeurs.

📖 4. Parallélisme et positions relatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Objets coplanaires : Des objets mathématiques sont coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

★ À maîtriser

• Deux droites distinctes de l’espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires ; les droites coplanaires peuvent être sécantes ou parallèles.

• Deux plans de l’espace sont soit sécants, avec une intersection qui est une droite, soit parallèles ; des plans parallèles sont disjoints ou confondus.

• Une droite et un plan sont sécants s’ils ont un unique point commun, parallèles s’ils n’en ont aucun, ou la droite peut être incluse dans le plan.

• Deux plans déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles.

Compléments

• Deux droites non coplanaires sont disjointes et ne sont contenues dans aucun même plan, tandis que deux droites sécantes ont un unique point commun et que deux droites parallèles sont disjointes et coplanaires.

• Deux plans sont confondus s’ils ont trois points communs non alignés.

• Une droite est incluse dans un plan s’ils ont deux points communs.

• Dans un cube ABCDEFGH, les droites (EG) et (FG) sont sécantes en G, les droites (AD) et (FG) sont parallèles, et les droites (AD) et (CG) sont non coplanaires.

• Dans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH, les plans (BCG) et (BCE) se coupent suivant (BC), tandis que les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.

• Pour démontrer que deux plans sont parallèles, on peut montrer que deux vecteurs directeurs non colinéaires de l’un sont respectivement colinéaires à deux vecteurs directeurs non colinéaires de l’autre.

📖 5. Bases et repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Un triplet de vecteurs non coplanaires.
• Repère de l’espace : Un quadruplet formé d’un point O et d’une base de l’espace.

★ À maîtriser

📌 Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si l’un d’eux peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres.

• Dans une base de l’espace, tout vecteur se décompose de façon unique comme combinaison linéaire des trois vecteurs de la base.

Compléments

• Dans le repère (O ; i, j, k), les coordonnées du point M sont les nombres x, y et z tels que $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ ; x est son abscisse, y son ordonnée et z sa cote.

📐 Formule - Dans un repère de l’espace, le milieu de [AB], avec A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

📐 Formule - Si les points A et B ont pour coordonnées A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

📐 Formule - Pour des vecteurs de coordonnées $\vec u=(x;y;z)$ et $\vec v=(x';y';z')$, on a $\vec u+\vec v=(x+x';y+y';z+z')$ et, pour un réel k, $k\vec u=(kx;ky;kz)$.

📖 6. Coordonnées et coplanarité

★ À maîtriser

• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

• Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, ou, de façon équivalente, ont des coordonnées proportionnelles.

• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, donc si leurs coordonnées sont proportionnelles.

• Pour déterminer si trois vecteurs sont coplanaires, on teste d’abord si deux d’entre eux sont colinéaires ; sinon, on cherche à exprimer le troisième comme combinaison linéaire des deux autres en résolvant un système de trois équations à deux inconnues, et l’existence d’une solution établit leur coplanarité.

Compléments

• Pour déterminer si quatre points A, B, C et D sont coplanaires, on teste d’abord si deux des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires ; sinon, on cherche à exprimer $\overrightarrow{AD}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ au moyen d’un système de trois équations à deux inconnues, dont une solution établit la coplanarité.