QCM : Vecteurs et géométrie de l’espace (21 questions)

Explication

Des segments orientés égaux ont à la fois la même direction, le même sens et la même longueur. Des sens opposés ou des longueurs différentes empêchent donc l’égalité des vecteurs.

Explication

Dans la règle du parallélogramme, la somme de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est la diagonale issue de $A$, soit $\overrightarrow{AD}$. $\overrightarrow{BC}$ est un côté, tandis que $\overrightarrow{CD}$ correspond à l’autre diagonale dans le sens opposé.

Explication

La relation de Chasles donne $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$ : les déplacements successifs se combinent en un déplacement direct. $\overrightarrow{PQ}$ omet la seconde étape et $\overrightarrow{RQ}$ en inverse le sens.

Explication

Un facteur négatif inverse le sens sans changer la direction, et la norme est multipliée par la valeur absolue du facteur : $\|-3\vec{u}\|=3\|\vec{u}\|$. Conserver le sens ignore le signe négatif, tandis qu’une norme au tiers correspondrait à un facteur de valeur absolue $\frac{1}{3}$.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est un multiple réel de l’autre, ce qui correspond à une direction commune. L’égalité des vecteurs exige aussi le même sens et la même longueur, conditions plus fortes que la colinéarité.

Explication

Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs, y compris à un vecteur non nul. La différence de normes ne remet pas en cause cette propriété, et le vecteur nul n’a pas besoin d’un sens propre pour être colinéaire.

Explication

La caractérisation d’une droite impose que $\overrightarrow{AM}$ soit un multiple réel de $\overrightarrow{AB}$; ici, le coefficient est $-2$. Un coefficient négatif reste admissible, et le vecteur directeur caractéristique est $\overrightarrow{AB}$.

Explication

Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires; ici $\vec{v}=-3\vec{u}$. L’égalité ou le même sens des vecteurs n’est pas requis, et la colinéarité des directeurs ne prouve pas que les droites se coupent.

Explication

Tout point dont le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ appartient au plan (ABC). Des coefficients négatifs sont permis; une seule direction ne suffirait, elle, qu’à caractériser une droite.

Explication

Deux plans déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles; ils peuvent aussi être confondus si leurs positions coïncident. Des points d’ancrage différents n’impliquent donc ni une intersection selon une droite ni une absence de parallélisme.

Explication

Deux droites distinctes qui n’ont aucun point commun peuvent être parallèles si elles sont coplanaires, ou non coplanaires si elles ne sont contenues dans aucun même plan. L’absence d’intersection ne permet donc pas de conclure à elle seule qu’elles sont non coplanaires.

Explication

Lorsque deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Une intersection réduite à un point ne correspond pas à deux plans sécants, tandis que des plans parallèles disjoints n’ont aucun point commun.

Explication

Si une droite et un plan ont deux points communs distincts, la droite entière appartient au plan : deux points distincts déterminent la droite. Une droite sécante n’a qu’un point commun avec le plan, et une droite parallèle n’en a aucun.

Explication

Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires. Des vecteurs colinéaires ou coplanaires ne satisfont pas ce critère, et l’égalité des normes n’est pas requise.

Explication

Si l’un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres, les trois sont coplanaires et donc dépendants. L’indépendance et la formation d’une base sont incompatibles avec cette relation, tandis que la perpendicularité n’en découle pas.

Explication

Tout vecteur de l’espace se décompose de façon unique comme combinaison linéaire des trois vecteurs d’une base. L’unicité est essentielle ; les coefficients peuvent être réels et la propriété vaut pour tout vecteur.

Explication

Un repère de l’espace est un quadruplet constitué d’un point origine et d’une base, noté $(O\,;\vec i,\vec j,\vec k)$. Une base seule n’est pas un repère, et le quadruplet n’ajoute pas un quatrième vecteur.

Explication

Les coordonnées du second vecteur sont celles du premier multipliées par $-3$ ; elles sont donc proportionnelles et les vecteurs sont colinéaires. La proportionnalité n’implique pas l’égalité, et le coefficient peut être négatif.

Explication

On obtient $\overrightarrow{AB}=(2\,;3\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}=(4\,;6\,;2)=2\overrightarrow{AB}$ ; ces vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés. Les coordonnées des points ne sont pas le critère, et des vecteurs colinéaires peuvent être de longueurs différentes.

Explication

Le second vecteur vaut $-2$ fois le premier ; les vecteurs directeurs sont donc colinéaires et les droites sont parallèles. Ils n’ont pas besoin d’être égaux, et un coefficient négatif convient.

Explication

Lorsque deux vecteurs ne sont pas colinéaires, on cherche à exprimer le troisième comme leur combinaison linéaire en résolvant un système de trois équations à deux inconnues ; une solution établit la coplanarité. La non-colinéarité de deux vecteurs ne suffit pas à exclure la coplanarité.