Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des suites
2. Modes de génération et représentation
3. Variation d’une suite
4. Suites arithmétiques
5. Suites géométriques

📖 1. Définition et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ et à valeurs dans ℝ, qui associe à chaque entier naturel n un nombre u(n), noté u_n.

📝 Points essentiels

• Une suite se note (u_n), (u_n)_{n∈ℕ} ou plus simplement u, et ses termes sont u_0, u_1, u_2

• Le terme u_{n+1} est le terme qui suit le terme u_n.

💡 Astuce mémo

Une suite se visualise comme une liste infinie de nombres indexés par 0, 1, 2, …

📖 2. Modes de génération et représentation

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition explicite : Une suite est définie explicitement lorsque son terme général u_n peut être exprimé directement en fonction de son indice n.
• Définition par récurrence : Une suite est définie par récurrence par la donnée de son terme initial et d’une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.
• Représentation graphique : Dans un repère (O ; i⃗, j⃗), la représentation graphique d’une suite u est l’ensemble des points M_n de coordonnées (n ; u_n).

💡 Astuce mémo

Explicite : accès direct au terme ; récurrence : progression terme après terme.

📖 3. Variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
• Suite constante : Une suite est constante si, pour tout n∈ℕ, u_{n+1}=u_n.

📝 Points essentiels

📌 Une suite est croissante si, pour tout n∈ℕ, u_n ≤ u_{n+1}, et elle est décroissante si, pour tout n∈ℕ, u_n ≥ u_{n+1}.

• Pour étudier le sens de variation d’une suite u, on étudie le signe de la différence u_{n+1}-u_n.

💡 Astuce mémo

Croissante : u_n ≤ u_{n+1} ; décroissante : u_n ≥ u_{n+1}.

📖 4. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en lui ajoutant un nombre réel constant r, appelé raison, ce qui s’écrit $u_{n+1}=u_n+r$.

★ À maîtriser

• Pour prouver qu’une suite u est arithmétique, on montre que la différence u_{n+1}-u_n est indépendante de n.

📌 Pour une suite arithmétique de raison r, r>0 implique que la suite est croissante, r<0 qu’elle est décroissante et r=0 qu’elle est constante.

Compléments

📌 Une suite est arithmétique si et seulement si sa représentation graphique est un nuage de points alignés, ce qui correspond à une croissance linéaire.

💡 Astuce mémo

Ajouter une raison constante → une différence constante et un nuage de points alignés.

📖 5. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un nombre réel constant q, appelé raison, ce qui s’écrit $v_{n+1}=q\times v_n$.

★ À maîtriser

• Pour prouver qu’une suite v est géométrique, on montre que le quotient $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ est indépendant de n.

📌 Pour une suite géométrique de raison q telle que v_0>0, q>1 implique que la suite est croissante, 0<q<1 qu’elle est décroissante et q=1 qu’elle est constante.

Compléments

• Lorsque v_0>0 et q>1, le nuage de points représentant une suite géométrique suit une croissance exponentielle.

💡 Astuce mémo

Multiplier par une raison constante → un quotient constant et une croissance exponentielle si q > 1.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques