QCM : Suites numériques — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle décrit correctement une suite numérique ?

Une application définie sur R\mathbb{R} et à valeurs dans R\mathbb{R}
Une fonction définie sur N\mathbb{N} et à valeurs dans N\mathbb{N}
Une fonction définie sur un intervalle réel et à valeurs dans N\mathbb{N}
Une fonction définie sur N\mathbb{N} et à valeurs dans R\mathbb{R}

Une fonction définie sur $$\mathbb{N}$$ et à valeurs dans $$\mathbb{R}$$

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel nn un nombre réel unu_n. Elle se distingue donc d’une fonction définie sur un intervalle réel, qui peut prendre des arguments non entiers.

2. Parmi les expressions suivantes, laquelle peut désigner un terme d’une suite définie sur N\mathbb{N} ?

u2u_{\sqrt{2}}
u−2u_{-2}
u1,5u_{1,5}
u0u_0

$$u_0$$

Explication

Les indices d’une suite définie sur N\mathbb{N} sont des entiers naturels, notamment 00. Les indices 1,51,5, −2-2 et 2\sqrt{2} ne sont pas des entiers naturels.

3. Une suite définie explicitement permet de calculer un terme parce que son terme général est…

obtenu à partir du terme précédent et d’un terme initial
déterminé par le signe de la différence entre deux termes
représenté par des points de coordonnées entières
exprimé directement en fonction de l’indice nn

exprimé directement en fonction de l’indice $$n$$

Explication

Dans une définition explicite, la formule donne directement unu_n à partir de nn. La nécessité d’utiliser le terme précédent caractérise plutôt une définition par récurrence.

4. Quelles données permettent de définir une suite par récurrence ?

Les coordonnées de tous les points de sa représentation graphique
Un terme initial et une relation reliant chaque terme au précédent
Une formule donnant chaque terme directement selon son indice
Le signe de chaque différence entre deux termes consécutifs

Un terme initial et une relation reliant chaque terme au précédent

Explication

Une définition par récurrence repose sur un terme initial et une relation de calcul à partir du terme précédent. Elle ne donne pas directement un terme éloigné comme le ferait une formule explicite.

5. Dans un repère, quelles sont les coordonnées des points représentant une suite uu ?

Les points MnM_n de coordonnées (un+1;n)(u_{n+1};n)
Les points MnM_n de coordonnées (n;n+un)(n;n+u_n)
Les points MnM_n de coordonnées (n;un)(n;u_n)
Les points MnM_n de coordonnées (un;n)(u_n;n)

Les points $$M_n$$ de coordonnées $$(n;u_n)$$

Explication

La représentation graphique associe à chaque indice nn le point Mn=(n;un)M_n=(n;u_n). L’indice est donc l’abscisse et la valeur du terme est l’ordonnée.

6. Quelle propriété caractérise une suite monotone ?

Elle change de sens de variation à chaque terme
Elle conserve une valeur identique pour tout indice
Elle est croissante ou décroissante
Elle alterne entre deux valeurs successives

Elle est croissante ou décroissante

Explication

Une suite monotone est soit croissante, soit décroissante. La suite définie par un=(−1)nu_n=(-1)^n, qui alterne entre deux valeurs, n’est pas monotone.

7. Quelle condition traduit qu’une suite est croissante ?

Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un+1<unu_{n+1}<u_n
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un≥un+1u_n\geq u_{n+1}
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un+1=unu_{n+1}=u_n
Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un≤un+1u_n\leq u_{n+1}

Pour tout $$n\in\mathbb{N}$$, $$u_n\leq u_{n+1}$$

Explication

Une suite croissante ne diminue pas lorsque l’indice augmente, ce qui s’écrit un≤un+1u_n\leq u_{n+1} pour tout nn. L’inégalité inverse caractérise une suite décroissante.

8. Pour étudier le sens de variation d’une suite, quelle expression faut-il analyser ?

La somme un+1+unu_{n+1}+u_n
Le quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}
La différence un+1−unu_{n+1}-u_n
Le produit un+1×unu_{n+1}\times u_n

La différence $$u_{n+1}-u_n$$

Explication

Le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n indique si le terme suivant est supérieur ou inférieur au terme courant. Une différence positive correspond à une progression, tandis qu’une différence négative correspond à une diminution.

9. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison rr ?

un+1=r×unu_{n+1}=r\times u_n
un+1=unru_{n+1}=u_n^r
un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r
un+1=un−rnu_{n+1}=u_n-rn

$$u_{n+1}=u_n+r$$

Explication

Dans une suite arithmétique, on obtient chaque terme en ajoutant la même constante réelle rr au terme précédent. La multiplication par une constante caractérise plutôt une suite géométrique.

10. Quelle méthode permet de démontrer qu’une suite uu est arithmétique ?

Vérifier que chaque terme est positif pour tout nn
Vérifier que un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} ne dépend pas de nn
Vérifier que un+1−unu_{n+1}-u_n ne dépend pas de nn
Vérifier que les termes deviennent plus grands avec nn

Vérifier que $$u_{n+1}-u_n$$ ne dépend pas de $$n$$

Explication

Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante, donc indépendante de nn. L’indépendance du quotient correspond au critère d’une suite géométrique.

11. Une suite arithmétique possède une raison r=−3r=-3. Quelle est sa variation ?

Elle alterne entre deux valeurs
Elle est constante
Elle est décroissante
Elle est croissante

Elle est décroissante

Explication

Une raison négative signifie que l’on soustrait une quantité positive à chaque étape, ce qui rend la suite décroissante. Le quotient intervient dans l’étude des variations des suites géométriques, pas la raison additive d’une suite arithmétique.

12. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison qq ?

vn+1=q×vnv_{n+1}=q\times v_n
vn+1=vn−qnv_{n+1}=v_n-qn
vn+1=vnqv_{n+1}=v_n^q
vn+1=vn+qv_{n+1}=v_n+q

$$v_{n+1}=q\times v_n$$

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par la constante qq. L’addition d’une constante correspond à la définition d’une suite arithmétique.

13. Quel calcul permet de démontrer qu’une suite vv est géométrique lorsque les quotients sont définis ?

Montrer que les termes sont tous des nombres entiers
Montrer que chaque terme est supérieur au précédent
Montrer que vn+1vn\frac{v_{n+1}}{v_n} est indépendant de nn
Montrer que vn+1−vnv_{n+1}-v_n est indépendant de nn

Montrer que $$\frac{v_{n+1}}{v_n}$$ est indépendant de $$n$$

Explication

Une suite géométrique possède un quotient constant entre deux termes consécutifs, ce qui signifie que vn+1vn\frac{v_{n+1}}{v_n} ne dépend pas de nn. Une différence constante est le critère d’une suite arithmétique.

14. Une suite géométrique vérifie v0>0v_0>0 et possède une raison qq telle que 0<q<10<q<1. Comment varie-t-elle ?

Elle est constante
Elle suit une croissance linéaire
Elle est croissante
Elle est décroissante

Elle est décroissante

Explication

Lorsque v0>0v_0>0 et 0<q<10<q<1, chaque terme est obtenu en réduisant le précédent par une multiplication positive inférieure à 11, donc la suite est décroissante. Une raison q>1q>1 entraînerait une croissance, tandis que q=1q=1 donnerait une suite constante.

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Qu'est-ce qu'une suite numérique en mathématiques ?

Une fonction de ℕ dans ℝ associant à chaque n un nombre u_n.

Qu'est-ce qu'une suite définie explicitement ?

Son terme général s'exprime directement en fonction de l'indice n.

Quelles données définissent une suite par récurrence ?

Un terme initial et une relation entre termes consécutifs.

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