Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et notations des suites
2. Modes de définition des suites
3. Suites arithmétiques et géométriques
4. Variations des suites
5. Sommes de termes consécutifs
6. Méthodes de preuve et exemples

📖 1. Définition et notations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur les entiers naturels ou sur une partie des entiers naturels.

📝 Points essentiels

📌 Le terme uₙ désigne le terme d’indice n de la suite (uₙ), tandis que (uₙ) désigne la suite elle-même.

💡 Astuce mémo

uₙ est un terme, (uₙ) est la suite

📖 2. Modes de définition des suites

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie par récurrence sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ ou explicitement sous la forme $u_n=f(n)$.

Compléments

• La suite définie par $u_{n+1}=u_n^2$ et $u_0=0{,}75$ est définie par récurrence.

💡 Astuce mémo

Récurrence : uₙ₊₁=f(uₙ) ; explicite : uₙ=f(n)

📖 3. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique si la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante et vaut la raison r.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique si elle vérifie $v_{n+1}=v_nq$, où q est une constante appelée raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, on a $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_p+(n-p)r$.

Compléments

• Une suite géométrique de premier terme 10 et de raison $q=\frac12$ vérifie $v_n=10\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac{20}{2^n}$ pour n≥1.

• La suite définie par $u_{n+1}=-u_n+5$ et $u_0=2$ alterne entre 2 et 3, car ses premiers termes sont $u_1=3$, $u_2=2$ et $u_3=3$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📖 4. Variations des suites

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d’une suite, on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ : la suite est croissante si cette différence est positive ou nulle et décroissante si elle est négative ou nulle.

• Une suite arithmétique de raison r est croissante si $r>0$ et décroissante si $r<0$.

• Pour une suite géométrique de raison q, si $q<0$ la suite alterne, si $q=0$ elle est nulle dès le deuxième terme, et si $q>0$ elle garde le signe de son premier terme.

Compléments

📌 Si $0<q<1$, une suite géométrique se rapproche de 0 ; si $q>1$, le phénomène est amplifié, avec une croissance lorsque v₀>0 et une décroissance lorsque v₀<0.

💡 Astuce mémo

Le signe de uₙ₊₁−uₙ entraîne la croissance ou la décroissance

📖 5. Sommes de termes consécutifs

📝 Points essentiels

📐 Formule — La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut $S=\frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}\times\text{nombre de termes}$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, on a $u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour $q\ne1$, la somme géométrique vérifie $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme v₀, on a $v_0+v_1+\cdots+v_n=v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ avec $q\ne1$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : moyenne des extrêmes ; géométrique : premier terme multiplié par un facteur

📖 6. Méthodes de preuve et exemples

★ À maîtriser

📌 Un seul contre-exemple suffit à montrer qu’une proposition est fausse, tandis que la preuve d’une proposition exige un raisonnement général.

Compléments

• La suite 1, 8, 27, 64, 125 n’est ni arithmétique car ses différences successives ne sont pas constantes, ni géométrique car ses quotients successifs ne sont pas constants.

• La suite 1, 8, 15, 22, … est arithmétique de raison 7, car elle vérifie $u_{n+1}=u_n+7$ et $u_1=1$.

• La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, … est géométrique de raison 2 et vérifie $v_n=2^n$ avec $v_0=1$.

📌 Si $u_n=f(n)$, l’étude des variations de la fonction f permet d’étudier les variations de la suite lorsque cette correspondance est applicable.

💡 Astuce mémo

Un contre-exemple réfute ; un raisonnement général prouve

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites usuelles