QCM : Suites numériques — 16 questions

Explication

La notation $u_n$ désigne la valeur de la suite correspondant à l’indice n. La notation $(u_n)$ représente, quant à elle, la suite considérée dans son ensemble.

Explication

Une suite numérique est une fonction dont l’ensemble de définition est constitué des entiers naturels ou d’une partie des entiers naturels. Une équation de récurrence décrit un mode de définition, mais ne constitue pas la définition générale d’une suite.

Explication

Une définition par récurrence décrit un terme à partir d’un terme précédent, sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$. Une définition explicite fournit directement le terme $u_n$ à partir de l’indice n, sous la forme $u_n=f(n)$.

Explication

La relation $u_{n+1}=u_n^2$ exprime le terme suivant à partir du terme actuel, ce qui caractérise une définition par récurrence. Elle ne donne pas directement $u_n$ en fonction de n.

Explication

Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs reste constante et cette constante est la raison r. Un quotient constant caractérise plutôt une suite géométrique, lorsque les quotients sont définis.

Explication

Pour une suite arithmétique, la formule est $u_n=u_0+nr$. En remplaçant $u_0$ par 4 et r par 3, on obtient $u_n=4+3n$; la puissance de 3 correspondrait à une évolution géométrique.

Explication

Une suite géométrique est obtenue en multipliant chaque terme par la même constante q, d’où la relation $v_{n+1}=v_nq$. Une différence constante, comme dans $v_{n+1}-v_n=q$, caractérise une suite arithmétique.

Explication

Le signe de $u_{n+1}-u_n$ indique si les termes augmentent ou diminuent. Le premier terme et la somme des termes ne suffisent pas à déterminer les variations générales.

Explication

Une suite arithmétique est décroissante lorsque sa raison est négative. Le signe de son premier terme ne détermine pas ses variations.

Explication

Une raison géométrique négative entraîne une alternance des signes entre termes successifs. Le maintien du signe concerne une raison positive, tandis que la nullité dès le deuxième terme correspond à $q=0$.

Explication

La somme vaut la moyenne du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes : $\frac{4+20}{2}\times5=60$. Utiliser seulement le dernier terme ou additionner les extrêmes ne donne pas la somme recherchée.

Explication

Une suite arithmétique possède $n+1$ termes entre les rangs $0$ et $n$, et leur somme est leur moyenne extrême multipliée par ce nombre. La dernière expression est une formule de somme géométrique.

Explication

La somme géométrique de raison $q\ne1$ est $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. La formule utilisant la moyenne des extrêmes correspond aux suites arithmétiques, et l’exposant doit être $n+1$.

Explication

La formule donne $3\frac{1-2^4}{1-2}=45$, ce qui correspond à $3+6+12+24$. La valeur $24$ ne représente que le dernier terme, pas la somme des quatre termes.

Explication

Un seul contre-exemple qui contredit la proposition suffit à la rendre fausse. À l’inverse, quelques cas favorables ne constituent pas une preuve générale.

Explication

Une suite arithmétique exige des différences constantes et une suite géométrique des quotients constants ; cette suite ne vérifie aucune de ces deux propriétés. Le fait que ses termes soient positifs ne suffit pas à caractériser l’un de ces types.