Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Notion et indices d’une suite
2. Définition explicite d’une suite
3. Définition par récurrence
4. Représentation graphique des suites
5. Sens de variation d’une suite

📖 1. Notion et indices d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels, ou fonction qui à tout entier naturel n associe un réel u_n.
• Terme général : Terme de la suite dont l’indice n indique le rang dans la liste.

📝 Points essentiels

• Le premier terme d’une suite, appelé terme initial, est souvent noté u_0 ; le deuxième est noté u_1.

📖 2. Définition explicite d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation explicite : Relation qui donne u_n en fonction de n et permet de calculer directement n’importe quel terme.

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par u_n=2n+3, on obtient u_0=3, u_1=5, u_5=13 et u_100=203.

📖 3. Définition par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Relation qui définit un terme, par exemple u_{n+1}, à partir d’un ou de plusieurs termes précédents ; le terme initial est donné.

📝 Points essentiels

• Pour v_0=1 et v_{n+1}=3v_n+2, les premiers termes calculés sont v_1=5, v_2=17 et v_3=53.

💡 Astuce mémo

Terme initial, puis calcul de proche en proche

📖 4. Représentation graphique des suites

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une suite consiste à placer dans un repère les points de coordonnées (n;u_n), sans les relier.

Compléments

• Pour représenter la suite u_n=-n^2+7n+1, on place les points de coordonnées (n;u_n) pour les entiers naturels considérés.

📖 5. Sens de variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite qui vérifie, pour tout entier naturel n, u_{n+1}≥u_n.
• Suite décroissante : Suite qui vérifie, pour tout entier naturel n, u_{n+1}≤u_n.
• Suite constante : Suite qui vérifie, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_n.
• Suite monotone : Suite qui est croissante, décroissante ou constante sur ℕ.

★ À maîtriser

• Pour comparer u_n et u_{n+1}, on étudie le signe de leur différence u_{n+1}-u_n : une différence positive indique une suite croissante et une différence négative ou nulle indique une suite décroissante.

Compléments

• Pour u_n=n^2, la différence u_{n+1}-u_n=2n+1 est positive sur ℕ, donc la suite est croissante.

• Pour v_{n+1}=v_n-n^2, la différence v_{n+1}-v_n=-n^2 est négative ou nulle sur ℕ, donc la suite est décroissante.

💡 Astuce mémo

Croissante : le terme suivant augmente ; décroissante : il diminue