Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de représentation
2. Suites arithmétiques
3. Suites géométriques
4. Récurrences affines
5. Raisonnement par récurrence
6. Sens de variation des suites
7. Suites majorées et bornées

📖 1. Définition et modes de représentation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur un ensemble d’entiers naturels et à valeurs réelles.

★ À maîtriser

📌 Une définition explicite exprime U_n directement en fonction de n, tandis qu’une définition par récurrence exprime un terme à partir d’un ou de plusieurs termes précédents.

Compléments

• L’image de l’entier n par la suite U se note généralement U_n.

• Pour calculer les termes d’une suite définie par récurrence, on part d’un terme initial puis on applique successivement la relation de récurrence.

💡 Astuce mémo

Une formule explicite donne directement un terme ; une récurrence le construit à partir du précédent.

📖 2. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie U_{n+1}=U_n+r, où r est un réel constant appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, $U_n=U_p+(n-p)r$.

📐 Formule - La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vérifie $\sum_{k=p}^{n}U_k=(n-p+1)\frac{U_p+U_n}{2}$.

Compléments

• Pour la suite arithmétique de raison 1/3 telle que U_3=-2, on obtient U_8=-1/3.

• Pour la même suite, la somme des termes de U_5 à U_{11} est égale à -7/3.

📖 3. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie U_{n+1}=qU_n, où q est un réel constant appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite géométrique, $U_n=U_pq^{n-p}$.

📐 Formule - Si q\ne1, la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique vérifie $\sum_{k=p}^{n}U_k=U_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.

Compléments

• Pour reconnaître une suite géométrique définie par récurrence, on peut transformer la relation en U_{n+1}=qU_n plutôt que calculer le quotient U_{n+1}/U_n.

📖 4. Récurrences affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence affine : Une récurrence affine est une relation de la forme U_{n+1}=aU_n+b, où a et b sont constants.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une récurrence affine, on peut rechercher un point fixe ℓ, puis poser V_n=U_n-ℓ afin d’obtenir une suite géométrique.

Compléments

• Pour U_0=3 et U_{n+1}=U_n/3+4, le point fixe est 6 et la suite auxiliaire V_n=U_n-6 vérifie V_{n+1}=V_n/3.

📐 Formule - Dans cet exemple, $U_n=6-3\left(\frac{1}{3}\right)^n$.

💡 Astuce mémo

Le décalage par le point fixe transforme la récurrence affine en récurrence géométrique.

📖 5. Raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Une démonstration par récurrence comprend :
  • l’initialisation
  • l’hérédité
  • la conclusion

📌 Dans l’hérédité, on suppose la propriété vraie à un rang donné et on démontre qu’elle l’est au rang suivant en utilisant l’hypothèse de récurrence.

Compléments

📌 Une récurrence doit porter sur des entiers naturels et ne doit pas commencer en supposant directement vraie la conclusion à démontrer.

• Le cours propose de démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3^{2n}-1 est un multiple de 4.

💡 Astuce mémo

Initialisation, hérédité, conclusion.

📖 6. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite vérifiant U_{n+1}≥U_n à chaque rang de son domaine, et strictement croissante si U_{n+1}>U_n.
• Suite décroissante : Suite vérifiant U_{n+1}≤U_n à chaque rang de son domaine, et strictement décroissante si U_{n+1}<U_n.
• Suite monotone : Suite croissante ou décroissante, et strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d’une suite, on peut calculer et étudier le signe de U_{n+1}-U_n.

Compléments

• Pour étudier les variations d’une suite explicite U_n=f(n), on peut étudier les variations de la fonction f sur les entiers concernés, mais la réciproque n’est pas nécessairement vraie.

• Pour U_n=(n-1)/(n+1), le cours obtient U_{n+1}-U_n=2/((n+1)(n+2))>0 et en conclut que la suite est strictement croissante.

📖 7. Suites majorées et bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Suite vérifiant U_n≤M pour tout n de son domaine.
• Suite bornée : Suite à la fois majorée et minorée.
• Suite minorée : Suite vérifiant U_n≥m pour tout n de son domaine.

📝 Points essentiels

• Une suite peut avoir plusieurs majorants et plusieurs minorants.

• Pour prouver par récurrence qu’une suite est bornée, on peut établir simultanément un encadrement m≤U_n≤M et vérifier que la relation de récurrence préserve cet encadrement.