QCM : Suites numériques (11 questions)

Question 1

1. Quelle description correspond à une suite numérique ?

Une fonction définie sur un ensemble de réels et à valeurs réelles

Une fonction définie sur un ensemble d’entiers naturels et à valeurs réelles

Une fonction définie sur un ensemble d’entiers naturels et à valeurs entières naturelles

Une fonction définie sur un ensemble de réels et à valeurs entières naturelles

Explication

Une suite numérique est une fonction dont le domaine est un ensemble d’entiers naturels et dont les valeurs sont réelles. Les réels comme domaine confondent l’ensemble de définition avec celui d’une fonction réelle, tandis que des valeurs entières naturelles restreignent à tort l’ensemble d’arrivée.

Answer

Une fonction définie sur un ensemble d’entiers naturels et à valeurs réelles

Question 2

2. Une suite est décrite par une formule donnant directement chaque terme à partir de son indice, tandis qu’une autre donne chaque terme à partir du terme précédent. Comment classer ces deux définitions, dans cet ordre ?

Définition par récurrence, puis définition explicite

Définition par récurrence dans les deux cas

Définition explicite, puis définition par récurrence

Définition explicite dans les deux cas

Explication

Une définition explicite exprime directement le terme en fonction de son indice, alors qu’une définition par récurrence s’appuie sur un ou plusieurs termes précédents. Inverser les deux confond leurs rôles, et classer les deux relations dans un seul mode méconnaît la différence entre calcul direct et dépendance aux termes précédents.

Answer

Définition explicite, puis définition par récurrence

Question 3

3. Une suite arithmétique vérifie $U_4=7$ et a pour raison $r=3$ . Quelle valeur obtient-on pour $U_9$ ?

10

19

22

25

Explication

La formule donne $U_9=U_4+(9-4)r=7+5\times3=22$ . Réduire l’écart à quatre pas donne 19, soustraire la raison donne une évolution dans le mauvais sens, et ajouter une seule raison donne 10.

Answer

Le réel constant qui multiplie chaque terme pour obtenir le suivant

Answer

Le point fixe est $$6$$, car il vérifie $$\ell=\frac{\ell}{3}+4$$.

Answer

Elle permet de supposer la propriété vraie à un rang donné afin d’établir qu’elle l’est au rang suivant.

Answer

Une suite croissante vérifie $$U_{n+1}\geq U_n$$, tandis qu’une suite strictement croissante vérifie $$U_{n+1}>U_n$$.

Answer

La relation de récurrence conserve l’encadrement $$m\leq U_n\leq M$$ d’un rang au suivant.

Answer

Partir du terme initial et appliquer successivement la relation de récurrence.

Answer

Elle est égale à une constante appelée raison.

Question 4

4. Dans une suite arithmétique, $U_2=5$ et $U_6=17$ . Quelle est la somme des termes de $U_2$ à $U_6$ inclus ?

50

44

55

22

Explication

Il y a $6-2+1=5$ termes, et leur moyenne vaut $\frac{5+17}{2}=11$ , donc la somme est $5\times11=55$ . Omettre une borne réduit le nombre de termes, additionner les extrémités sans moyenner surestime la somme, et compter les quatre intervalles au lieu des cinq termes donne 44.

Question 5

5. Comment se définit la raison d’une suite géométrique ?

La différence entre deux termes d’indices consécutifs, prise dans l’ordre direct

Le quotient entre deux termes d’indices consécutifs, pris dans l’ordre inverse

Le réel constant qu’on ajoute à chaque terme pour obtenir le suivant

Le réel constant qui multiplie chaque terme pour obtenir le suivant

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un même réel, appelé raison. Ajouter une constante au terme précédent définit plutôt une suite arithmétique.

Question 6

6. Pour la récurrence affine $U_{n+1}=\frac{U_n}{3}+4$ , quel point fixe permet de transformer la suite en une suite géométrique ?

Le point fixe est

6

, car il vérifie

\ell=\frac{\ell}{3}+4

.

Le point fixe est

12

, car il est obtenu en multipliant le terme constant par le dénominateur.

Le point fixe est

4

, car il correspond au terme constant de la relation.

Le point fixe est

3

, car il correspond au coefficient de

U_n

.

Explication

Un point fixe vérifie $\ell=\frac{\ell}{3}+4$ , ce qui donne $\ell=6$ ; le décalage $V_n=U_n-6$ conduit alors à une suite géométrique. Le terme constant $4$ n’est pas le point fixe, puisqu’il ne satisfait pas cette équation.

Question 7

7. Quel est le rôle de l’hypothèse de récurrence dans l’étape d’hérédité ?

Elle permet de remplacer la propriété à démontrer par une propriété équivalente sur les réels.

Elle sert à déterminer le dernier rang auquel la propriété est vraie.

Elle permet de supposer la propriété vraie à un rang donné afin d’établir qu’elle l’est au rang suivant.

Elle permet de vérifier que la propriété est vraie au premier rang étudié.

Explication

L’hypothèse de récurrence fournit la propriété au rang considéré, qui sert à démontrer sa validité au rang suivant. La vérification au premier rang relève de l’initialisation, et non de l’hérédité.

Question 8

8. Quelle distinction entre une suite croissante et une suite strictement croissante est correcte ?

Une suite croissante vérifie

U_n\geq 0

, tandis qu’une suite strictement croissante vérifie

U_n>0

.

Une suite croissante vérifie

U_{n+1}>U_n

, tandis qu’une suite strictement croissante vérifie

U_{n+1}\geq U_n

.

Une suite croissante vérifie

U_{n+1}\geq U_n

, tandis qu’une suite strictement croissante vérifie

U_{n+1}>U_n

.

Une suite croissante vérifie

U_{n+1}\leq U_n

, tandis qu’une suite strictement croissante vérifie

U_{n+1}<U_n

.

Explication

La croissance autorise l’égalité entre deux termes consécutifs, alors que la croissance stricte exige une augmentation à chaque rang. La décroissance, proposée comme distinction, repose sur des inégalités orientées dans le sens inverse.

Question 9

9. Lorsqu’on démontre par récurrence qu’une suite reste dans un intervalle $[m,M]$ , quelle conséquence faut-il établir pour conclure qu’elle est bornée ?

La différence entre deux termes consécutifs est constante, ce qui limite les termes.

La suite est croissante, ce qui garantit qu’elle reste sous la borne

M

.

La suite atteint ses deux bornes, ce qui fixe son maximum et son minimum.

La relation de récurrence conserve l’encadrement

m\leq U_n\leq M

d’un rang au suivant.

Explication

Si l’encadrement est vérifié au rang initial et que la récurrence le préserve, chaque terme reste entre $m$ et $M$ ; la suite est donc bornée. La croissance seule ne garantit pas qu’une suite reste majorée.

Question 10

10. Pour calculer les premiers termes d’une suite définie par récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

Partir du terme initial et appliquer successivement la relation de récurrence.

Remplacer chaque indice par sa valeur dans une formule explicite.

Calculer la somme des termes précédents pour obtenir le terme suivant.

Déterminer d’abord la raison constante entre deux termes consécutifs.

Explication

Une définition par récurrence permet de construire les termes à partir d’un terme initial en appliquant la relation de proche en proche. Remplacer les indices dans une formule explicite correspond à une autre méthode de représentation.

Question 11

11. Quelle propriété caractérise la différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique ?

Elle est égale à une constante appelée raison.

Elle est proportionnelle au terme précédent.

Elle varie selon le rang du terme considéré.

Elle est égale au quotient de deux termes consécutifs.

Explication

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant une constante, appelée raison. Une différence proportionnelle au terme précédent caractérise plutôt une suite géométrique.

QCM : Suites numériques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description correspond à une suite numérique ?

2. Une suite est décrite par une formule donnant directement chaque terme à partir de son indice, tandis qu’une autre donne chaque terme à partir du terme précédent. Comment classer ces deux définitions, dans cet ordre ?

3. Une suite arithmétique vérifie $U_4=7$ et a pour raison $r=3$ . Quelle valeur obtient-on pour $U_9$ ?

4. Dans une suite arithmétique, $U_2=5$ et $U_6=17$ . Quelle est la somme des termes de $U_2$ à $U_6$ inclus ?

5. Comment se définit la raison d’une suite géométrique ?

6. Pour la récurrence affine $U_{n+1}=\frac{U_n}{3}+4$ , quel point fixe permet de transformer la suite en une suite géométrique ?

7. Quel est le rôle de l’hypothèse de récurrence dans l’étape d’hérédité ?

8. Quelle distinction entre une suite croissante et une suite strictement croissante est correcte ?

9. Lorsqu’on démontre par récurrence qu’une suite reste dans un intervalle $[m,M]$ , quelle conséquence faut-il établir pour conclure qu’elle est bornée ?

10. Pour calculer les premiers termes d’une suite définie par récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

11. Quelle propriété caractérise la différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique ?

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QCM : Suites numériques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description correspond à une suite numérique ?

2. Une suite est décrite par une formule donnant directement chaque terme à partir de son indice, tandis qu’une autre donne chaque terme à partir du terme précédent. Comment classer ces deux définitions, dans cet ordre ?

3. Une suite arithmétique vérifie U4=7U_4=7U4​=7 et a pour raison r=3r=3r=3. Quelle valeur obtient-on pour U9U_9U9​ ?

4. Dans une suite arithmétique, U2=5U_2=5U2​=5 et U6=17U_6=17U6​=17. Quelle est la somme des termes de U2U_2U2​ à U6U_6U6​ inclus ?

5. Comment se définit la raison d’une suite géométrique ?

6. Pour la récurrence affine Un+1=Un3+4U_{n+1}=\frac{U_n}{3}+4Un+1​=3Un​​+4, quel point fixe permet de transformer la suite en une suite géométrique ?

7. Quel est le rôle de l’hypothèse de récurrence dans l’étape d’hérédité ?

8. Quelle distinction entre une suite croissante et une suite strictement croissante est correcte ?

9. Lorsqu’on démontre par récurrence qu’une suite reste dans un intervalle [m,M][m,M][m,M], quelle conséquence faut-il établir pour conclure qu’elle est bornée ?

10. Pour calculer les premiers termes d’une suite définie par récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

11. Quelle propriété caractérise la différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique ?

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3. Une suite arithmétique vérifie $U_4=7$ et a pour raison $r=3$ . Quelle valeur obtient-on pour $U_9$ ?

4. Dans une suite arithmétique, $U_2=5$ et $U_6=17$ . Quelle est la somme des termes de $U_2$ à $U_6$ inclus ?

6. Pour la récurrence affine $U_{n+1}=\frac{U_n}{3}+4$ , quel point fixe permet de transformer la suite en une suite géométrique ?

9. Lorsqu’on démontre par récurrence qu’une suite reste dans un intervalle $[m,M]$ , quelle conséquence faut-il établir pour conclure qu’elle est bornée ?