Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et rang des termes
2. Formule explicite d’une suite
3. Définition par récurrence
4. Représentation graphique des suites
5. Sens de variation d’une suite
6. Calculatrice et recherche de seuil
7. Limites d’une suite numérique

📖 1. Définition et rang des termes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur ℕ, ou sur les entiers naturels à partir d’un certain rang, et à valeurs dans ℝ.
• Terme d’une suite : L’image u(n) est le terme de rang n de la suite et se note aussi u_n.
• Rang d’un terme : Antécédent entier naturel n du terme dans la définition de la suite.

📝 Points essentiels

• Dans la suite des entiers naturels impairs rangés dans l’ordre croissant, u_0 = 1, u_1 = 3 et u_2 = 5.

📖 2. Formule explicite d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Une suite est définie par une formule explicite lorsque chaque terme est exprimé en fonction de son rang n.

★ À maîtriser

• Pour calculer un terme d’une suite explicite, on remplace n par le rang demandé dans l’expression de u_n.

Compléments

• Pour u_n = 3n^2 - 2n + 1, on obtient u_4 = 41 et u_10 = 281.

• Si w_n = f(n) avec f(x) = x(x+3)-x^3, alors w_{n+1} = (n+1)(n+4)-(n+1)^3.

📖 3. Définition par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Méthode de définition qui donne le premier terme et une méthode de calcul de u_{n+1} en fonction de u_n.

★ À maîtriser

• Pour calculer les termes d’une suite définie par récurrence, on part du terme initial et on applique la relation pour obtenir chaque terme suivant.

Compléments

• Pour u_0 = 2 et u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 6, les premiers termes calculés sont u_1 = 7, u_2 = 9,5 et u_3 = 10,75.

• Une suite de premier terme v_0 = 4 dont chaque terme est le triple du précédent vérifie v_1 = 12, v_2 = 36 et v_3 = 108.

📖 4. Représentation graphique des suites

★ À maîtriser

• Dans un repère, une suite est représentée par le nuage des points de coordonnées (n ; u_n).

• Pour représenter une suite définie par u_{n+1}=f(u_n), on trace la courbe de f et la droite y=x, puis on reporte successivement les termes de la suite à l’aide de projections.

Compléments

• Pour représenter une suite explicite, on calcule ses premiers termes puis on place les points de coordonnées (n ; u_n).

📖 5. Sens de variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite vérifiant u_{n+1} > u_n pour tout rang où les deux termes sont définis.
• Suite décroissante : Suite vérifiant u_{n+1} < u_n pour tout rang où les deux termes sont définis.
• Suite constante : Suite vérifiant u_{n+1} = u_n pour tout rang où les deux termes sont définis.
• Suite monotone : Suite croissante ou décroissante sans changement de sens de variation.

★ À maîtriser

📌 Lorsque u_n > 0 pour tout n, si le rapport u_{n+1}/u_n est supérieur à 1 la suite est croissante, et s’il est inférieur à 1 elle est décroissante.

Compléments

• La suite v_n = 1/[n(n+1)], définie pour n ≥ 1, est décroissante car v_{n+1}/v_n = n/(n+2) < 1.

💡 Astuce mémo

Différence positive : la suite monte ; rapport inférieur à 1 : elle descend, si les termes sont positifs.

📖 6. Calculatrice et recherche de seuil

🔑 Notions clés & Définitions

• Seuil d’une suite : Rang à partir duquel les termes d’une suite dépassent une valeur donnée ou deviennent inférieurs à cette valeur.

📝 Points essentiels

• Pour calculer les termes d’une suite explicite à la calculatrice, on sélectionne le mode suite, indique le rang initial et saisit l’expression de la suite.

• Pour une suite définie par récurrence à la calculatrice, on choisit le type SUITE(n+1), saisit la relation de récurrence et renseigne le terme initial.

• Pour v_n = 12000×0,98^n, le plus petit entier n tel que v_n < 10000 est n = 10, car v_9 = 10005 et v_10 = 9804,9.

📖 7. Limites d’une suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Suite dont les termes appartiennent à tout intervalle ouvert contenant l à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

• La suite u_n = (-1)^n alterne entre 1 et -1 et n’a pas de limite.

💡 Astuce mémo

Une limite finie rapproche les termes d’un réel ; une limite infinie les fait dépasser tout seuil.