QCM : Suites numériques (14 questions)

Explication

Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels, éventuellement à partir d’un certain rang, et dont les valeurs appartiennent aux réels. Les valeurs entières et les domaines ℤ ou ℝ confondent les ensembles concernés.

Explication

L’image $u(n)$ est le terme de rang $n$, qu’on note aussi $u_n$. L’antécédent est le rang, tandis que la suite entière se note $(u_n)$.

Explication

Une formule explicite exprime chaque terme en fonction de son rang $n$. Une relation de récurrence s’appuie sur d’autres termes, une liste énumère des valeurs et une définition du domaine précise les rangs autorisés.

Explication

Pour obtenir un terme d’une suite explicite, on remplace $n$ par le rang demandé dans l’expression. Ici, il faut donc substituer 4 à $n$; les autres réponses utilisent un rang différent ou ne font pas cette substitution.

Explication

Une définition par récurrence précise le terme initial et la méthode pour obtenir $u_{n+1}$ à partir de $u_n$. Une formule explicite donne directement un terme selon son rang, tandis que les autres propositions omettent l’un des éléments nécessaires.

Explication

Pour une suite récurrente, on part du terme initial et on applique la relation pour obtenir chaque terme suivant. Calculer directement selon le rang correspond à une formule explicite, et commencer sans le terme initial ne permet pas d’amorcer le calcul.

Explication

Chaque terme est représenté par le point dont l’abscisse est son rang $n$ et l’ordonnée sa valeur $u_n$. Inverser les coordonnées, décaler le rang ou changer le signe de l’ordonnée ne respecte pas cette représentation.

Explication

La représentation d’une suite récurrente de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ utilise la courbe de $f$ et la droite $y=x$ pour construire les termes successifs par projections. Le placement direct des points relève de la méthode décrite pour une suite explicite.

Explication

On a $u_{n+1}=5-2(n+1)=u_n-2$, donc $u_{n+1}<u_n$ à chaque rang. Une suite croissante aurait des termes successifs plus grands, une suite constante des termes égaux, et une suite non monotone changerait de sens.

Explication

Comme tous les termes sont positifs et que le rapport successif vaut $0{,}8<1$, la règle du rapport implique que la suite est décroissante. Un rapport inférieur à un ne traduit pas une croissance; la constance correspondrait à un rapport égal à un.

Explication

Un seuil indique à partir de quel rang les termes deviennent inférieurs à une valeur donnée. Le terme initial est une valeur de départ, tandis qu’une limite décrit un comportement à long terme.

Explication

Le plus petit rang recherché est $10$ : à $n=9$, le terme vaut $10005$ et reste supérieur à $10000$, tandis qu’à $n=10$, il vaut $9804{,}9$ et passe sous le seuil. Choisir $9$ oublie de vérifier l’inégalité stricte.

Explication

Une limite égale à $l$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient les termes de la suite à partir d’un certain rang. Exiger tous les termes néglige les premiers rangs, tandis que la seule présence d’une infinité de termes ne garantit pas cette propriété.

Explication

Les termes restent alternativement égaux à $1$ et à $-1$ : ils ne se concentrent donc pas dans tout intervalle ouvert autour d’un même réel à partir d’un certain rang. La moyenne n’est pas la limite, et le fait d’être bornée ne suffit pas à assurer la convergence.