QCM : Suites numériques en Première — 13 questions

Explication

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels indexée par les entiers naturels, et elle associe à chaque entier naturel un nombre réel. Dans la notation u_n, u_n désigne le terme de rang n, tandis que n est l’indice qui repère cette valeur. Il ne s’agit donc pas d’associer un entier naturel à un terme u_n ni de décaler son rang.

Explication

Le terme $u_n$ est la valeur située au rang $n$. Un terme est donc un élément de la suite, tandis que $n$ est l’indice qui permet de le repérer dans la liste ordonnée.

Explication

Une suite est explicitement définie lorsque chaque terme est calculé directement en fonction de son rang $n$. Cette méthode ne nécessite généralement pas de connaître les termes précédents, contrairement à une relation de récurrence.

Explication

Une relation de récurrence fournit un terme initial et une règle de calcul, puis construit progressivement les termes de la suite. Elle permet d’obtenir chaque terme à partir du précédent. Elle ne donne donc pas directement chaque terme en fonction de son rang et ne se réduit pas à une formule explicite.

Explication

La relation $u_n=2n$ calcule directement chaque terme en fonction de son rang et définit donc explicitement la suite. Ainsi, $u_3=6$ et $u_5=10$, tandis que $u_4=8$ et non $12$.

Explication

Pour représenter une suite, on place les points de coordonnées $(n,u_n)$ : le rang $n$ est l’abscisse et la valeur $u_n$ est l’ordonnée. Les points correspondent donc aux termes calculés, avec les rôles des axes indiqués correctement.

Explication

La représentation graphique d’une suite est un nuage de points, et ces points ne sont normalement pas reliés. Les relier créerait une courbe continue, ce qui ne correspond pas à la représentation usuelle d’une suite, sauf demande explicite de l’énoncé.

Explication

Une suite est décroissante à partir du rang p lorsque $u_{n+1}\leq u_n$ pour tout $n\geq p$. Pour étudier cette variation, on calcule $u_{n+1}-u_n$ et on en détermine le signe : un signe négatif indique une décroissance, tandis qu’un signe positif indique une croissance. La condition porte sur les rangs supérieurs ou égaux à p, et une égalité n’est pas imposée.

Explication

Si f est croissante à partir d’un certain rang, alors $u_n=f(n)$ est croissante à partir de ce rang. Si f est décroissante à partir de ce rang, la suite correspondante est décroissante. La suite ne retient que les valeurs de f correspondant aux indices entiers naturels, et non toutes les valeurs réelles.

Explication

Une suite présente une variation discrète lorsque son indice parcourt les entiers naturels. La fonction associée est étudiée sur les réels, et elle peut varier continûment lorsque sa variable parcourt ces réels.

Explication

Par définition, une suite convergente se rapproche d’un nombre réel lorsque $n\to+\infty$. Les autres propositions décrivent une croissance sans borne, une alternance ou une absence de convergence.

Explication

Pour la suite $u_n=\frac{2n+1}{n}$, les termes se rapprochent de 2 lorsque $n$ devient grand, donc $\lim_{n\to+\infty}u_n=2$. La suite ne possède pas une limite égale à 1, à 0 ou à $+\infty$, et son expression ne s’écrit pas $2-\frac{1}{n}$.

Explication

Comme $v_n=n^2+1$, ses termes deviennent arbitrairement grands et $\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$. Tendre vers $+\infty$ signifie précisément devenir arbitrairement grand, ce qui ne correspond pas à une convergence vers un nombre réel fini comme 1.