Fiche de révision : Suites numériques en Première

📋 Plan du Cours

1. Notion de suite numérique
2. Formules explicite et récurrente
3. Représentation graphique des suites
4. Variation d’une suite
5. Suite et fonction associée
6. Limites et comportements à l’infini

📖 1. Notion de suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels, indexée par des entiers naturels, qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel noté u_n.
• Terme d’une suite : Élément de la suite, et u_n désigne le terme de rang n.

📝 Points essentiels

• Pour la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, 11, on a u_0=1, u_1=3, u_2=5 et u_3=7.

💡 Astuce mémo

Visualiser une suite comme une liste ordonnée indexée par 0, 1, 2, 3…

📖 2. Formules explicite et récurrente

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Lorsque chaque terme est exprimé directement en fonction de son rang n, indépendamment des termes précédents.

★ À maîtriser

📐 Formule — La suite des nombres pairs est définie explicitement par $u_n=2n$.

• Une relation de récurrence définit une suite en donnant un terme initial puis une règle permettant d’obtenir chaque terme à partir du précédent.

Compléments

• La suite définie par u_0=5 et u_{n+1}=3u_n commence par 5, 15, 45 et 135.

💡 Astuce mémo

Forme explicite : le rang donne directement le terme ; récurrence : le terme précédent donne le suivant.

📖 3. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Représentation graphique des termes d’une suite obtenue en plaçant les coordonnées (n,u_n).

★ À maîtriser

• Pour représenter graphiquement une suite, on place les points de coordonnées (n,u_n) correspondant aux termes calculés.

Compléments

📌 Les points représentant les termes d’une suite ne doivent pas être reliés, sauf si l’énoncé le demande explicitement.

📖 4. Variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite décroissante : À partir du rang p si, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, on a u_{n+1} inférieur ou égal à u_n.

★ À maîtriser

• Pour étudier la variation d’une suite, on calcule la différence u_{n+1}-u_n et on détermine son signe.

Compléments

📌 Si u_{n+1}-u_n est positif, la suite est croissante, et si u_{n+1}-u_n est négatif, la suite est décroissante, sur les rangs considérés.

💡 Astuce mémo

Différence positive → le terme suivant augmente ; différence négative → le terme suivant diminue.

📖 5. Suite et fonction associée

★ À maîtriser

📌 Si une suite est définie par u_n=f(n) et que la fonction f est croissante à partir d’un certain rang, alors la suite est croissante à partir de ce rang.

📌 Une fonction varie de manière continue lorsque sa variable parcourt les réels, tandis qu’une suite est une variation discrète lorsque son indice parcourt les entiers naturels.

Compléments

📌 Si une suite est définie par u_n=f(n) et que la fonction f est décroissante à partir d’un certain rang, alors la suite est décroissante à partir de ce rang.

💡 Astuce mémo

Fonction continue sur les réels, suite discrète sur les entiers naturels.

📖 6. Limites et comportements à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Lorsqu’elle se rapproche d’un nombre réel lorsque n tend vers plus l’infini.
• Suite divergente : Suite qui n’est pas convergente.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour la suite définie par $u_n=\frac{2n+1}{n}$, les termes se rapprochent de 2 lorsque n devient grand, donc $\lim_{n\to+\infty}u_n=2$.

Compléments

📐 Formule — Pour la suite définie par $v_n=n^2+1$, les termes deviennent arbitrairement grands lorsque n tend vers plus l’infini et $\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.

• La suite définie par w_0=2 et w_{n+1}=(-1)^n w_n alterne entre 2 et -2 et diverge, car ses termes ne se rapprochent pas d’une valeur unique.

💡 Astuce mémo

Convergente : se rapproche d’une valeur ; divergente : ne se rapproche pas d’une valeur unique.

📊 Tableaux de synthèse

Deux modes de définition d’une suite