Fiche de révision : Suites numériques et modèles discrets

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Variation d’une suite
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques positives
5. Comparer les modèles de suites
6. Résoudre un problème de seuil

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres dont le terme de rang n, noté un ou u(n), est associé à un entier naturel n.

★ À maîtriser

📌 Une suite n’est définie qu’aux rangs entiers naturels et sa représentation graphique est constituée de points isolés de coordonnées (n ; un), contrairement à une courbe continue.

📌 Une suite définie explicitement donne directement un terme en fonction de n, tandis qu’une suite définie par récurrence donne un premier terme et une règle de passage au terme suivant.

Compléments

• Pour calculer un terme d’une suite explicite, on remplace n par le rang demandé dans la formule.

• Pour calculer des termes d’une suite définie par récurrence, on part du premier terme et on applique la règle dans l’ordre des rangs.

💡 Astuce mémo

Une fonction continue trace une courbe, une suite place des points isolés.

📖 2. Variation d’une suite

★ À maîtriser

📌 Une suite est croissante lorsque $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout n.

📌 Une suite est décroissante lorsque $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout n.

• Pour étudier la variation d’une suite quelconque, on calcule $u_{n+1}-u_n$, on étudie le signe de cette différence, puis on conclut que la suite est croissante si le signe est positif et décroissante s’il est négatif.

Compléments

📌 Une suite est constante lorsque $u_{n+1}=u_n$ pour tout n, et tous ses termes sont alors égaux.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dans laquelle on ajoute toujours le même nombre, appelé raison r, pour passer d’un terme au suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ et, si son premier terme est $u_0$, sa formule explicite est $u_n=u_0+nr$.

📌 Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante, c’est-à-dire si $u_{n+1}-u_n=r$.

📌 Pour une suite arithmétique, r positif implique une suite croissante, r nul une suite constante et r négatif une suite décroissante.

Compléments

📐 Formule - Si le premier terme connu d’une suite arithmétique est $u_1$, alors $u_n=u_1+(n-1)r$.

• Dans la suite 7, 10, 13, 16, la raison arithmétique est 3.

• Les points représentatifs d’une suite arithmétique sont alignés, car sa formule explicite est affine en n.

💡 Astuce mémo

Des points alignés sur une droite discrète.

📖 4. Suites géométriques positives

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique positive : Une suite géométrique positive est une suite dans laquelle on multiplie chaque terme par le même nombre positif q pour passer au suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une suite géométrique positive vérifie $u_{n+1}=qu_n$ avec $q>0$ et, si son premier terme est $u_0$, sa formule explicite est $u_n=u_0q^n$.

📌 Une suite est géométrique lorsque le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant et égal à q, avec $u_n\neq 0$.

📌 Si $u_0>0$ et $q>0$, une suite géométrique est croissante lorsque $q>1$, constante lorsque $q=1$ et décroissante lorsque $0<q<1$.

Compléments

📐 Formule - Si le premier terme connu d’une suite géométrique est $u_1$, alors $u_n=u_1q^{n-1}$.

• Dans la suite 5, 10, 20, 40, la raison géométrique est 2.

• Les points représentatifs d’une suite géométrique positive ne sont généralement pas alignés et suivent une allure de croissance ou de décroissance exponentielle.

💡 Astuce mémo

À chaque rang, la suite est multipliée par le même facteur.

📖 5. Comparer les modèles de suites

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique modélise une évolution par ajout constant et une croissance linéaire discrète, tandis qu’une suite géométrique positive modélise une évolution par multiplication constante et une évolution exponentielle discrète.

Compléments

• Une augmentation de 20 % correspond à une raison géométrique de 1,20.

• Une baisse de 15 % correspond à une raison géométrique de 0,85.

📌 Dans la formule $u_n=u_0q^n$, l’exposant n représente le nombre d’évolutions effectuées depuis le rang 0.

• Une quantité initiale de 5 000 habitants qui augmente de 3 % par an est modélisée par $p_n=5000\times1{,}03^n$.

• Une quantité initiale de 600 euros qui augmente de 150 euros chaque mois est modélisée par $e_n=600+150n$.

💡 Astuce mémo

L’arithmétique ajoute, la géométrique multiplie.

📖 6. Résoudre un problème de seuil

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème de seuil : Un problème de seuil demande à partir de quel rang n une quantité dépasse ou passe sous une valeur donnée.

★ À maîtriser

• Pour résoudre un problème de seuil, on identifie le modèle arithmétique ou géométrique, écrit la formule de un, teste les valeurs de n à l’aide d’une calculatrice, d’un tableur ou d’un raisonnement, puis répond en indiquant le rang à partir duquel le seuil est atteint.

Compléments

• Si $u_0=12$ et $u_{n+1}=u_n+4$, la suite est arithmétique de raison 4 et $u_5=32$.

• Si $v_0=80$ et $v_{n+1}=0{,}75v_n$, la suite est géométrique positive de raison 0,75 et décroissante.

💡 Astuce mémo

Modèle → formule → test des rangs → réponse.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques