QCM : Suites numériques et modèles discrets (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un élève trace la représentation graphique d’une suite numérique : comment doit-il représenter ses termes aux rangs naturels ?

Par des points isolés de coordonnées (n;un)(n;u_n)
Par des points placés à tous les rangs réels entre deux entiers
Par des segments horizontaux reliant les termes consécutifs
Par une courbe continue passant par les points (n;un)(n;u_n)

Par des points isolés de coordonnées $$(n;u_n)$$

Explication

Une suite est définie aux rangs entiers naturels, donc sa représentation comporte des points isolés de coordonnées (n;un)(n;u_n). La courbe continue et les points aux rangs réels intermédiaires confondent une suite avec une fonction définie entre les entiers, tandis que les segments horizontaux ne représentent pas ses termes.

2. Quelle différence caractérise une suite définie explicitement par rapport à une suite définie par récurrence ?

Elle donne directement un terme en fonction de son rang
Elle donne uniquement le premier terme de la suite
Elle décrit les termes par une courbe continue
Elle donne un premier terme et une règle de passage au suivant

Elle donne directement un terme en fonction de son rang

Explication

Une définition explicite exprime directement le terme en fonction de son rang. La règle de passage avec un premier terme correspond à une définition par récurrence, et la courbe continue ne constitue pas une définition de suite.

3. Pour étudier la variation d’une suite quelconque, quelle démarche un élève doit-il appliquer ?

Calculer un+1−unu_{n+1}-u_n, en étudier le signe, puis conclure
Calculer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}, en étudier le signe, puis conclure
Calculer un+1+unu_{n+1}+u_n, en étudier le signe, puis conclure
Examiner le signe de u0u_0, puis conclure

Calculer $$u_{n+1}-u_n$$, en étudier le signe, puis conclure

Explication

La variation s’étudie en calculant un+1−unu_{n+1}-u_n puis en déterminant le signe de cette différence : un signe positif indique une suite croissante et un signe négatif une suite décroissante. Le quotient concerne notamment la reconnaissance des suites géométriques, tandis que la somme et le seul signe du premier terme ne déterminent pas la variation.

4. Pour chaque rang naturel, une suite vérifie un+1≤unu_{n+1}\leq u_n. Quelle propriété peut-on en déduire ?

La suite est constante
La suite est arithmétique
La suite est croissante
La suite est décroissante

La suite est décroissante

Explication

Une suite est décroissante lorsque chaque terme suivant est inférieur ou égal au précédent, c’est-à-dire lorsque un+1≤unu_{n+1}\leq u_n pour tout rang. L’inégalité inverse caractérise la croissance, l’égalité à chaque rang caractérise la constance, et cette condition ne suffit pas à établir que la suite est arithmétique.

5. Qu’est-ce qui caractérise une suite arithmétique ?

Les termes représentés forment généralement une courbe exponentielle.
Le quotient de deux termes consécutifs est constant.
La différence entre deux termes consécutifs est constante.
Chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre qui varie avec le rang.

La différence entre deux termes consécutifs est constante.

Explication

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant une même raison, ce qui rend constante la différence entre termes consécutifs. Un quotient constant caractérise plutôt une suite géométrique.

6. Dans la suite géométrique 5,10,20,405, 10, 20, 40, quelle est la raison géométrique ?

22
44
55
1010

$$2$$

Explication

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par 22, qui est donc la raison géométrique. Le nombre 55 est le premier terme, et non le facteur constant entre deux termes consécutifs.

7. Quel rôle joue l’exposant nn dans le modèle géométrique un=u0qnu_n=u_0q^n ?

Il indique le nombre de termes ajoutés à u0u_0 avec un écart constant.
Il donne le rang auquel la quantité atteint nécessairement sa valeur maximale.
Il indique le nombre de multiplications par qq effectuées depuis le rang 0.
Il représente la valeur du facteur de multiplication appliqué à chaque rang.

Il indique le nombre de multiplications par $$q$$ effectuées depuis le rang 0.

Explication

L’exposant nn compte les évolutions successives depuis le rang 0, chacune correspondant à une multiplication par qq. Un ajout constant caractérise plutôt un modèle arithmétique et ne décrit pas le rôle de l’exposant dans cette formule.

8. Quelle distinction décrit correctement les modèles arithmétique et géométrique pour une quantité qui évolue au fil des rangs ?

Le modèle arithmétique ajoute une valeur constante, tandis que le modèle géométrique multiplie par un facteur constant.
Le modèle arithmétique multiplie par un facteur constant, tandis que le modèle géométrique ajoute une valeur constante.
Le modèle arithmétique suit une évolution exponentielle, tandis que le modèle géométrique suit une évolution linéaire.
Le modèle arithmétique utilise un quotient constant, tandis que le modèle géométrique utilise une différence constante.

Le modèle arithmétique ajoute une valeur constante, tandis que le modèle géométrique multiplie par un facteur constant.

Explication

Dans un modèle arithmétique, l’écart entre deux termes successifs est constant, alors que dans un modèle géométrique, leur rapport est constant. L’option qui associe le quotient au modèle arithmétique inverse les tests caractéristiques des deux modèles.

9. Pourquoi une suite numérique n’est-elle généralement pas représentée par une courbe continue ?

Parce qu’elle est définie aux rangs entiers naturels, ce qui donne des points isolés.
Parce que ses termes sont nécessairement tous différents, ce qui sépare les points.
Parce qu’elle est définie uniquement pour des valeurs positives de son rang.
Parce que ses termes suivent toujours une évolution linéaire entre deux rangs.

Parce qu’elle est définie aux rangs entiers naturels, ce qui donne des points isolés.

Explication

Le rang d’une suite est un entier naturel, donc sa représentation associe un point à chaque rang sans définir de valeurs intermédiaires. Une évolution linéaire ne caractérise pas toutes les suites et ne justifie donc pas l’absence d’une courbe continue.

10. Un élève veut déterminer si une suite est croissante à partir de ses termes successifs. Quel calcul doit-il effectuer à chaque rang pour appliquer le critère de variation ?

Additionner le terme courant et le terme suivant, puis comparer la somme à zéro.
Calculer le quotient entre le terme suivant et le terme courant, puis vérifier s’il est constant.
Calculer la différence entre le terme suivant et le terme courant, puis étudier son signe.
Comparer le terme courant au premier terme, puis vérifier si leur écart est constant.

Calculer la différence entre le terme suivant et le terme courant, puis étudier son signe.

Explication

La différence un+1−unu_{n+1}-u_n indique le sens de variation : un signe positif correspond à une suite croissante. Le quotient constant sert plutôt à reconnaître une suite géométrique.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Suites numériques et modèles discrets.

Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

Une liste ordonnée de nombres dont chaque terme est associé à un rang entier naturel.

Quelle condition définit une suite croissante ?

un+1≥unu_{n+1}\geq u_n pour tout nn.

Quelle différence étudie-t-on pour analyser la variation d’une suite quelconque ?

un+1−unu_{n+1}-u_n.

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