Fiche de révision : Suites numériques et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Suites géométriques et arithmétiques
3. Variations des suites
4. Formules et exercices d’application

📖 1. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Démonstration qu’une propriété dépendant de n ∈ N est vraie pour tout entier naturel en établissant son initialisation et son hérédité.

📝 Points essentiels

• 🔄 Une démonstration par récurrence suit trois étapes:

  1. Vérifier la propriété à un rang initial n₀
  2. Supposer la propriété vraie au rang n puis démontrer qu’elle est vraie au rang n+1
  3. Conclure qu’elle est vraie pour tout n ∈ N

• Pour la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\\sqrt{u_n+2}$, une récurrence montre que $u_n=2$ pour tout n ∈ N.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Suites géométriques et arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique lorsqu’il existe un réel q fixé tel que, pour tout n ∈ N, $u_{n+1}=u_n\\times q$.
• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsqu’il existe un réel r fixé tel que, pour tout n ∈ N, $u_{n+1}=u_n+r$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, la somme des termes jusqu’au rang n est $S_n=u_0\\times\\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ lorsque q ≠ 1.

• Pour u₀ = 5 et q = 1/3, la somme jusqu’au rang n est $S_n=\\frac{15}{2}\\left(1-\\left(\\frac13\\right)^{n+1}\\right)$.

💡 Astuce mémo

Géométrique : multiplier par q ; arithmétique : ajouter r

📖 3. Variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante lorsque, pour tout n ∈ N, $u_{n+1}\\ge u_n$, ce qui équivaut à $u_{n+1}-u_n\\ge0$.

★ À maîtriser

📌 Pour étudier les variations d’une suite, on calcule la différence $u_{n+1}-u_n$ et on étudie son signe sur l’ensemble des indices considéré.

Compléments

• Pour la suite $u_n=-1+\\frac12n^2$, on obtient une différence positive car un carré est toujours positif, donc la suite est croissante.

• Pour la suite définie par $u_n=-5n^2-n+3$, on obtient $u_{n+1}-u_n=-10n-6$, qui est négatif pour n ∈ N* ; la suite est donc décroissante.

💡 Astuce mémo

Différence positive : croissante ; différence négative : décroissante

📖 4. Formules et exercices d’application

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r vérifie $u_n=u_0+rn$.

• Pour déterminer le plus petit entier n tel que $u_n>1000$ avec $u_n=-2+7n$, on résout $-2+7n>1000$, puis $n>\\frac{1002}{7}\\approx143{,}14$, donc le plus petit entier convenable est 144.

Compléments

• Avec u₀ = -2 et r = 7, on obtient $u_n=-2+7n$.

• Pour la suite arithmétique de premier terme -2 et de raison 7, l’ensemble des entiers solutions de $u_n>1000$ est $S=]143;+\\infty[\\cap\\mathbb N$.

• Pour la suite géométrique de raison 1/3, le terme $5\\times\\left(\\frac13\\right)^n$ tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

📊 Tableaux de synthèse

Suites géométriques et arithmétiques