Suites numériques et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Suites géométriques et arithmétiques
3. Variations des suites
4. Formules et exercices d’application

📖 1. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Démonstration qu’une propriété dépendant de n ∈ N est vraie pour tout entier naturel en établissant son initialisation et son hérédité.

📝 Points essentiels

• 🔄 Une démonstration par récurrence suit trois étapes:

  1. Vérifier la propriété à un rang initial n₀
  2. Supposer la propriété vraie au rang n puis démontrer qu’elle est vraie au rang n+1
  3. Conclure qu’elle est vraie pour tout n ∈ N

• Pour la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\\sqrt{u_n+2}$, une récurrence montre que $u_n=2$ pour tout n ∈ N.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Suites géométriques et arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique lorsqu’il existe un réel q fixé tel que, pour tout n ∈ N, $u_{n+1}=u_n\\times q$.
• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsqu’il existe un réel r fixé tel que, pour tout n ∈ N, $u_{n+1}=u_n+r$.

📝 Points essentiels