QCM : Suites numériques et récurrence — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est l’objectif du raisonnement par récurrence pour une propriété dépendant de n∈Nn\in\mathbb{N} ?

Comparer deux termes consécutifs afin de déterminer la variation d’une suite
Établir sa validité pour tout entier naturel à partir d’une initialisation et d’une hérédité
Exprimer chaque terme à l’aide d’une raison constante et d’un premier terme
Calculer sa valeur au rang initial puis extrapoler les résultats aux rangs suivants

Établir sa validité pour tout entier naturel à partir d’une initialisation et d’une hérédité

Explication

La récurrence prouve qu’une propriété est vraie pour tout entier naturel en vérifiant un rang initial puis sa transmission du rang nn au rang n+1n+1. Le calcul d’un seul terme ne permet pas, à lui seul, de justifier la propriété pour tous les rangs.

2. Dans une démonstration par récurrence, quelle suite d’étapes est correcte ?

Vérifier un rang initial, supposer la propriété vraie au rang nn, puis la démontrer au rang n+1n+1
Démontrer la propriété au rang n+1n+1, choisir ensuite un rang initial, puis formuler l’hypothèse
Calculer plusieurs termes, identifier une tendance, puis conclure sans hypothèse intermédiaire
Supposer la propriété vraie au rang n+1n+1, la vérifier au rang initial, puis revenir au rang nn

Vérifier un rang initial, supposer la propriété vraie au rang $$n$$, puis la démontrer au rang $$n+1$$

Explication

Une récurrence commence par l’initialisation, se poursuit par l’hérédité sous l’hypothèse de vérité au rang nn, et s’achève par la conclusion générale. Partir du rang n+1n+1 ou se limiter à quelques termes ne constitue pas cette démarche.

3. Pour la suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}, quelle affirmation intervient dans l’hérédité de la preuve que un=2u_n=2 ?

La donnée u0=2u_0=2 vérifie directement la propriété au premier rang considéré
Sous l’hypothèse un=2u_n=2, on obtient un+1=2+2=2u_{n+1}=\sqrt{2+2}=2
La relation un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2} définit la raison constante de la suite
La positivité de unu_n suffit à conclure que tous les termes sont égaux à deux

Sous l’hypothèse $$u_n=2$$, on obtient $$u_{n+1}=\sqrt{2+2}=2$$

Explication

L’hérédité consiste à supposer un=2u_n=2 et à calculer alors un+1=4=2u_{n+1}=\sqrt{4}=2. La valeur u0=2u_0=2 relève de l’initialisation, tandis que la positivité seule ne prouve pas l’égalité à deux.

4. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison qq ?

un+1=qn+unu_{n+1}=q^n+u_n pour tout entier naturel nn
un+1=un×qu_{n+1}=u_n\times q pour tout entier naturel nn
un+1=un÷qu_{n+1}=u_n\div q pour tout entier naturel nn
un+1=un+qu_{n+1}=u_n+q pour tout entier naturel nn

$$u_{n+1}=u_n\times q$$ pour tout entier naturel $$n$$

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une même constante qq. Une addition constante caractérise une suite arithmétique, et les deux autres relations ne définissent pas la notion demandée.

5. Une suite vérifie un+1=un+4u_{n+1}=u_n+4 pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}. De quel type est-elle et quelle est sa raison ?

Elle est géométrique de raison un+4u_n+4
Elle est arithmétique de raison un+4u_n+4
Elle est géométrique de raison 44
Elle est arithmétique de raison 44

Elle est arithmétique de raison $$4$$

Explication

L’ajout d’une constante fixe entre deux termes successifs caractérise une suite arithmétique, dont la raison est ici 44. Une suite géométrique se définit par une multiplication par une constante.

6. Quelle condition traduit qu’une suite est croissante ?

un+1≤unu_{n+1}\le u_n pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}
un+1−un<0u_{n+1}-u_n<0 pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}
un+1≥unu_{n+1}\ge u_n pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}
un≥0u_n\ge0 pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}

$$u_{n+1}\ge u_n$$ pour tout $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Une suite croissante possède des termes successifs tels que un+1≥unu_{n+1}\ge u_n, ce qui équivaut à une différence un+1−un≥0u_{n+1}-u_n\ge0. Le signe positif des termes ne suffit pas à déterminer leurs variations.

7. Pour étudier les variations d’une suite, quelle démarche faut-il appliquer ?

Calculer un+1−unu_{n+1}-u_n puis étudier le signe de cette différence sur les indices considérés
Étudier le signe de unu_n sans comparer les termes successifs de la suite
Comparer les termes éloignés de deux rangs et déduire la variation générale
Calculer le quotient un+1÷unu_{n+1}\div u_n puis examiner la valeur du premier terme

Calculer $$u_{n+1}-u_n$$ puis étudier le signe de cette différence sur les indices considérés

Explication

Le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n indique si les termes successifs augmentent, diminuent ou restent constants. Le signe de unu_n décrit la position des termes par rapport à zéro, mais ne suffit pas à déterminer la variation.

8. Quel est le plus petit entier naturel nn tel que un>1000u_n>1000 pour la suite définie par un=−2+7nu_n=-2+7n ?

145
146
143
144

144

Explication

L’inégalité −2+7n>1000-2+7n>1000 donne n>10027≈143,14n>\frac{1002}{7}\approx143,14, donc le premier entier naturel convenable est 144. L’entier 143 produit une valeur qui reste inférieure ou égale à 1000.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence ?

Une méthode pour prouver une propriété vraie pour tout entier naturel.

Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence ?

Initialisation, hypothèse au rang n, et passage au rang n+1.

Que montre la récurrence pour la suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2} ?

Que un=2u_n=2 pour tout entier naturel nn.

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