Flashcards : Suites numériques et récurrence — 19 cartes

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1Question

Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence ?

Réponse

Une méthode pour prouver une propriété vraie pour tout entier naturel.

2Question

Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence ?

Réponse

Initialisation, hypothèse au rang n, et passage au rang n+1.

3Question

Que montre la récurrence pour la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ ?

Réponse

Que $u_n=2$ pour tout entier naturel $n$ .

4Question

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Réponse

Une suite où $u_{n+1}=u_n\times q$ avec un réel q fixé.

5Question

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Réponse

Une suite où $u_{n+1}=u_n+r$ avec un réel r fixé.

6Question

Quelle est la formule de la somme des termes d'une suite géométrique ?

Réponse

$S_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ quand $q \neq 1$ .

7Question

Comment calcule-t-on la somme jusqu'au rang n pour $u_0=5$ et $q=\frac{1}{3}$ ?

Réponse

$S_n=\frac{15}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$ .

8Question

Qu'impose la définition d'une suite croissante pour tout n ?

Réponse

$u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

9Question

Quelle condition équivalente exprime la croissance d'une suite avec une différence ?

Réponse

$u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

10Question

Quelle méthode utilise-t-on pour étudier les variations d'une suite ?

Réponse

On calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ et on étudie son signe.

11Question

Pourquoi la suite $u_n = -1 + \frac{1}{2} n^2$ est-elle croissante ?

Réponse

Parce que la différence est positive car $n^2$ est toujours positif.

12Question

Quelle expression donne la différence $u_{n+1} - u_n$ pour $u_n = -5n^2 - n + 3$ ?

Réponse

$u_{n+1} - u_n = -10n - 6$ .

13Question

Pourquoi la suite $u_n = -5n^2 - n + 3$ est-elle décroissante pour $n \in \mathbb{N}^*$ ?

Réponse

Parce que $u_{n+1} - u_n = -10n - 6$ est négatif pour $n \ge 1$ .

14Question

Quelle formule vérifie une suite arithmétique de premier terme u₀ et raison r ?

Réponse

$u_n = u_0 + rn$

15Question

Quelle est l'expression de $u_n$ pour $u_0 = -2$ et $r = 7$ ?

Réponse

$u_n = -2 + 7n$

16Question

Quelle inéquation résout-on pour trouver le plus petit entier n avec $u_n > 1000$ et $u_n = -2 + 7n$ ?

Réponse

$-2 + 7n > 1000$

17Question

Quel est le plus petit entier n tel que $u_n > 1000$ avec $u_n = -2 + 7n$ ?

Réponse

144

18Question

Quel est l'ensemble des entiers n tels que $u_n > 1000$ pour la suite arithmétique de $u_0 = -2$ et $r = 7$ ?

Réponse

$S = ]143; +22[ 2\cap2 2\mathbb{N}$

19Question

Vers quelle valeur tend le terme $5 \times ig(\frac{1}{3}ig)^n$ quand n tend vers l'infini ?

Réponse

Vers 0

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 8 questions sur Suites numériques et récurrence.

1. Quel est l’objectif du raisonnement par récurrence pour une propriété dépendant de $n\in\mathbb{N}$ ?

2. Dans une démonstration par récurrence, quelle suite d’étapes est correcte ?

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