Fiche de révision : Suites numériques et variations

📋 Plan du Cours

1. Notion et notation des suites
2. Définition explicite et récurrente
3. Calcul des termes par algorithme
4. Représentation graphique des suites
5. Définitions des variations
6. Méthodes d’étude des variations

📖 1. Notion et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, qui associe à chaque entier naturel $n$ le terme $u_n$.

📝 Points essentiels

• Le terme de rang 0, noté $u_0$, est le premier terme lorsque la suite commence à l’indice 0, mais certaines suites commencent à $u_1$ ou à un rang supérieur.

📌 Pour une suite, $u_{n-1}$ désigne le terme qui précède $u_n$ et $u_{n+1}$ celui qui le suit.

• La suite des multiples de 4 commence par $u_0=0$, $u_1=4$, $u_2=8$ et $u_3=12$.

• La suite des inverses des entiers naturels positifs commence par $u_1=1$, $u_2=\frac{1}{2}$ et $u_3=\frac{1}{3}$.

📖 2. Définition explicite et récurrente

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie explicitement : Donne le terme $u_n$ directement en fonction de son rang $n$, sous la forme $u_n=f(n)$.
• Relation de récurrence : Définit un terme d’une suite à partir du terme précédent, généralement sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$, en donnant aussi un terme initial.

📝 Points essentiels

• Pour la suite explicite définie par $u_n=n^2+7n-3$, les premiers termes sont $u_0=-3$, $u_1=5$ et $u_2=15$.

• Pour calculer les termes d’une suite définie par récurrence, on part du terme initial puis on applique la relation de proche en proche, chaque terme nécessitant le précédent.

📌 Dans l’exemple $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n+2$, on obtient $u_1=5$ et $u_2=17$.

💡 Astuce mémo

Explicite : le rang donne directement le terme ; récurrence : le terme précédent le calcule.

📖 3. Calcul des termes par algorithme

★ À maîtriser

• Pour calculer un terme de rang $N$ par algorithme, on initialise une variable avec le terme initial, on répète la relation de récurrence dans une boucle jusqu’à $N$, puis on affiche la variable obtenue.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n+2$, l’algorithme donne $u_{10}=**118097**$.

💡 Astuce mémo

Initialiser, répéter la récurrence, afficher.

📖 4. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une suite : Nuage de points de coordonnées $(n;u_n)$, pour $n\in\mathbb{N}$, dans un repère.

📝 Points essentiels

• Les points représentant une suite sont isolés et ne forment pas une courbe continue.

📌 Si $u_n=f(n)$, les points $(n;u_n)$ de la suite sont situés sur la courbe représentative de $f$.

📖 5. Définitions des variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geq u_n$.
• Suite décroissante : Si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leq u_n$.
• Suite constante : Si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n$.
• Suite monotone : Croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

• Une suite peut être croissante ou décroissante seulement à partir d’un rang donné $p$.

• Dans l’exemple du cours, la suite de valeurs $9{,}4{,}1{,}0{,}1{,}4{,}9{,}16{,}25{,}36{,}49{,}64$ semble croissante à partir du rang 3.

💡 Astuce mémo

Croissante : les termes montent ou restent égaux ; décroissante : ils baissent ou restent égaux.

📖 6. Méthodes d’étude des variations

★ À maîtriser

• Pour étudier le sens de variation, on peut comparer les termes consécutifs, comparer leur quotient à 1 si tous les termes sont strictement positifs, ou étudier la fonction associée lorsque la suite est explicite.

📌 Si $u_{n+1}-u_n\geq0$ pour tout $n$, la suite est croissante, et si $u_{n+1}-u_n\leq0$ pour tout $n$, elle est décroissante.

Compléments

• Pour une suite à termes strictement positifs, si $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ pour tout $n$, elle est croissante, et si $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ pour tout $n$, elle est décroissante.

• Si $u_n=f(n)$ et si f\") est croissante sur \([0; +\infty[, la suite est croissante ; si $f$ y est décroissante, la suite est décroissante.

• Si la fonction associée $f$ est croissante ou décroissante sur $[p;+\infty[$, avec $p$ entier, la suite définie par $u_n=f(n)$ présente le même sens de variation à partir du rang $p$.

• La réciproque de la propriété reliant les variations de $f$ à celles de la suite $u_n=f(n)$ est fausse.