QCM : Suites numériques et variations (11 questions)

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel n un terme réel u_n. La fonction de ℝ vers ℕ inverse les rôles des rangs et des termes, tandis que les deux autres descriptions imposent des domaines ou des valeurs qui ne conviennent pas.

Explication

Le terme qui précède u_n est $u_{n-1}$, et celui qui le suit est $u_{n+1}$ ; pour n=5, il s’agit donc de u₄ et u₆. Inverser les indices intervertit précédent et suivant, tandis que 4, 6 ou 5, 7 désignent des rangs plutôt que les termes attendus.

Explication

Une définition explicite donne directement u_n en fonction du rang : pour u₇, on remplace n par 7. Calculer depuis u₆ correspond à une démarche terme à terme, remplacer par 8 change le rang demandé, et une récurrence exige un terme initial et une relation adaptée.

Explication

Une relation de récurrence calcule chaque terme à partir du précédent : à partir de u₀, il faut donc avancer successivement jusqu’à u₃. Remplacer n par 3 traite à tort la relation comme une formule explicite, et partir de u₃ ou de u₄ ne suit pas la progression depuis le terme initial.

Explication

La variable doit d’abord contenir le terme initial, puis être mise à jour par la récurrence jusqu’au rang demandé avant son affichage. L’initialisation avec le rang confond indice et terme, l’arrêt au rang 7 oublie une étape et l’affichage anticipé renvoie une valeur intermédiaire.

Explication

En répétant dix fois la relation à partir de $u_0=1$, on obtient $u_{10}=118097$. La valeur $39365$ correspond au terme précédent, $118095$ résulte de l’oubli de l’ajout de 2 et 10 est l’indice, non la valeur du terme.

Explication

Chaque terme de rang naturel $n$ est représenté par le point d’abscisse $n$ et d’ordonnée $u_n$. L’ordre inversé échange rang et terme, la courbe continue relie à tort les points et la fonction réelle ne définit pas à elle seule la représentation d’une suite.

Explication

Comme $u_n=f(n)$, le point de la suite a pour coordonnées $(n;f(n))$ et se trouve donc sur la courbe de $f$. Une interpolation continue ajoute des points qui ne représentent pas les termes, l’ordre inversé modifie les coordonnées et la suite ne fournit des points qu’aux rangs naturels.

Explication

La condition $u_{n+1}\geq u_n$ pour tout $n$ définit une suite croissante, y compris lorsque certains termes consécutifs sont égaux. La décroissance inverse l’inégalité, la constance exige l’égalité à chaque rang et la non-monotonie ne découle pas de cette condition.

Explication

Une suite est décroissante lorsque $u_{n+1}\leq u_n$ à chaque rang. La croissance utilise l’inégalité opposée, la constance impose l’égalité et la condition donnée garantit ici la monotonie.

Explication

Si $u_{n+1}-u_n\leq 0$ pour tout $n$, alors $u_{n+1}\leq u_n$ et la suite est décroissante. La croissance correspond au signe positif ou nul, la constance demanderait une différence nulle partout, et l’hypothèse vaut ici dès tous les rangs.