Fiche de révision : Suites numériques générales

📋 Plan du Cours

1. Définition et vocabulaire des suites
2. Modes de définition et calcul
3. Représentation graphique des suites
4. Variations et monotonie des suites
5. Méthodes d’étude des variations
6. Limites et divergence des suites
7. Conjecture de limite et seuil

📖 1. Définition et vocabulaire des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique u est une fonction qui associe à tout entier naturel n supérieur ou égal à p un réel u_n, noté aussi u(n).
• Terme de rang : Le réel u_n est le terme de rang n, ou d’indice n, et u_p est le terme initial de la suite.

📝 Points essentiels

• Une suite se note (u_n) ou u, et le terme qui suit u_n est u_{n+1}, tandis que celui qui le précède est u_{n-1}.

• La suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, … a pour terme initial u_0=1 et son terme de rang 3 est u_3=7.

💡 Astuce mémo

u_n désigne un nombre ; (u_n) désigne la suite entière.

📖 2. Modes de définition et calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition explicite : Une suite est définie explicitement lorsque u_n=f(n), ce qui permet de calculer chaque terme directement à partir de son rang.
• Définition par récurrence : Une suite définie par récurrence est donnée par un terme initial u_0 ou u_p et une relation u_{n+1}=f(u_n) qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un terme avec une formule explicite, on remplace n par le rang voulu dans la formule.

• Pour u_n=3n−1, on obtient u_0=−1, u_5=14 et u_{n+1}=3n+2.

• Pour v_0=2 et v_{n+1}=2v_n−1, les premiers termes calculés de proche en proche sont v_1=3, v_2=5 et v_3=9.

💡 Astuce mémo

Explicite : rang → terme ; récurrence : terme précédent → terme suivant.

📖 3. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : La représentation graphique d’une suite (u_n) dans un repère est le nuage des points de coordonnées (n;u_n).

📝 Points essentiels

📌 Dans la représentation graphique d’une suite, on ne relie pas les points ; une suite définie par récurrence peut aussi être représentée en escalier.

• Pour u_n=n²−3n+1, les termes de rang 0 à 5 sont respectivement 1, −1, −1, 1, 5 et 11, et les points correspondants ont pour abscisses leurs rangs.

📖 4. Variations et monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite (u_n) est croissante si, pour tout n, u_{n+1}≥u_n.
• Suite décroissante : Une suite (u_n) est décroissante si, pour tout n, u_{n+1}≤u_n.
• Suite constante : Une suite (u_n) est constante si, pour tout n, u_{n+1}=u_n.
• Suite monotone : Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

📝 Points essentiels

📌 Si la relation de croissance ou de décroissance n’est vraie que pour n≥p, la suite est dite croissante ou décroissante à partir du rang p.

• La suite w_n=(−1)^n prend alternativement les valeurs 1 et −1 et n’est ni croissante ni décroissante.

💡 Astuce mémo

Croissante : le terme suivant est au moins égal ; décroissante : il est au plus égal.

📖 5. Méthodes d’étude des variations

★ À maîtriser

📌 Si u_n=f(n) pour n≥p et si f est croissante sur [p;+∞[, alors (u_n) est croissante à partir du rang p ; la propriété analogue vaut pour une fonction décroissante.

• Pour étudier les variations d’une suite, on peut examiner le signe de la différence u_{n+1}−u_n : une différence positive donne une suite strictement croissante.

📌 Lorsque tous les termes u_n sont strictement positifs, comparer u_{n+1}/u_n à 1 permet de déterminer le sens de variation de la suite.

Compléments

📌 La propriété reliant les variations de f à celles de u_n=f(n) ne s’applique pas à une suite définie par récurrence u_{n+1}=f(u_n).

• Si v_0=2 et v_{n+1}=v_n+2n+1, alors v_{n+1}−v_n=2n+1>0 pour tout n∈ℕ, donc v est strictement croissante.

• Pour t_n=3/2^n, les termes sont positifs et t_{n+1}/t_n=1/2<1, donc t est strictement décroissante.

💡 Astuce mémo

Fonction associée → différence u_{n+1}−u_n → quotient u_{n+1}/u_n si les termes sont positifs.

📖 6. Limites et divergence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Une suite converge vers le réel ℓ lorsque ses termes deviennent aussi proches de ℓ que l’on veut dès que n est suffisamment grand ; on note alors lim_{n→+∞}u_n=ℓ.
• Suite divergente : Une suite qui n’est pas convergente est divergente ; elle peut tendre vers +∞, tendre vers −∞ ou ne pas avoir de limite.

📝 Points essentiels

• La suite u_n=1/n, définie pour n≥1, a pour limite conjecturée 0 lorsque n tend vers +∞.

• La suite v_n=1+(−1/2)^n a pour limite conjecturée 1, bien qu’elle ne soit ni croissante ni décroissante.

• La suite u_n=n² tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

• La suite w_n=(−1)^n alterne entre 1 et −1 et n’a pas de limite.

💡 Astuce mémo

Converger, c’est se rapprocher d’un réel ; diverger peut signifier partir vers ±∞ ou ne pas avoir de limite.

📖 7. Conjecture de limite et seuil

📝 Points essentiels

• Pour conjecturer la limite d’une suite, on peut calculer des termes de rangs très grands à l’aide d’un tableau, d’un tableur ou d’un programme, ou observer son nuage de points.

• Une boucle while peut déterminer le premier rang à partir duquel les termes d’une suite dépassent un seuil donné.

• Pour u_0=1 et u_{n+1}=2u_n+1, le premier rang tel que u_n>1000 est n=9, car u_8=511 et u_9=1023.