QCM : Suites numériques générales (11 questions)

Explication

Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel $n \geq p$ un réel $u_n$. La réponse « entier naturel » restreint à tort les valeurs, « $n$ » confond l’indice avec le terme, et « nombre positif » exclut à tort les réels négatifs.

Explication

Le terme de rang initial $p$ est $u_p$ ; avec $p=4$, le terme initial est donc $u_4$. $u_n$ désigne un terme de rang quelconque, $4$ est l’indice et $u_5$ est le terme suivant.

Explication

Une définition explicite donne $u_n=f(n)$ et permet de calculer directement chaque terme à partir de son rang. Une récurrence relie un terme au précédent, un terme initial seul ne définit pas toute la suite, et une liste ne fournit pas une formule explicite.

Explication

Une définition par récurrence comprend un terme initial $u_0$ ou $u_p$ et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent. Une formule en fonction de $n$ relève de la définition explicite, tandis qu’un terme sans rang précis ne fixe pas le point de départ.

Explication

Chaque terme de rang $n$ est représenté par un point dont l’abscisse est $n$ et l’ordonnée est $u_n$ ; ces points ne sont pas reliés. Une courbe reliant les points ne respecte pas la représentation usuelle d’une suite.

Explication

La suite $w_n=(-1)^n$ alterne entre $1$ et $-1$, donc ses termes ne suivent ni un sens croissant ni un sens décroissant. La suite $v_n=1+(-1/2)^n$ converge vers $1$, mais le contenu ne la donne pas comme exemple de cette alternance entre $1$ et $-1$.

Explication

Le signe de $u_{n+1}-u_n$ indique si le terme suivant est supérieur ou inférieur au terme actuel, ce qui permet de conclure sur les variations. La convergence étudie le comportement des termes à long terme et ne se déduit pas, à elle seule, de cette comparaison locale.

Explication

Les termes de $u_n=n^2$ croissent sans borne lorsque le rang tend vers $+\infty$, donc la suite tend vers $+\infty$. Une suite qui n’a pas de limite peut aussi diverger, mais ici les termes ne s’alternent pas : ils augmentent sans borne.

Explication

Une suite convergente se rapproche autant que souhaité d’un réel, tandis qu’une suite qui tend vers l’infini s’éloigne sans borne dans une direction. La monotonie n’est pas le critère qui distingue ces comportements : une suite peut converger sans être monotone.

Explication

L’indice de $u_{n+1}$ vaut une unité de plus que celui de $u_n$, ce qui définit leur ordre dans la suite. En revanche, le terme suivant n’est pas nécessairement plus grand en valeur, car les suites peuvent aussi décroître.

Explication

Une définition explicite permet de calculer un terme en substituant son rang à la variable, ce qui donne ici $u_5=3\times5-1=14$. Calculer le terme précédent puis lui ajouter $3$ correspondrait à une procédure de récurrence, qui n’est pas la méthode demandée par cette formule.