Fiche de révision : Suites réelles et convergence

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Suites et modèles discrets
3. Opérations et types de suites
4. Variation et bornes des suites
5. Suites arithmétiques et géométriques
6. Récurrences linéaires d’ordre deux
7. Limite et convergence
8. Sous-suites et opérations sur les limites
9. Opérations sur les limites finies
10. Ordre et encadrement des limites
11. Limites infinies et opérations
12. Limites des suites usuelles
13. Convergence monotone et bornes
14. Suites adjacentes et de Cauchy
15. Suites récurrentes
16. Densité et approximation séquentielle
17. Notations de Landau
18. Suites équivalentes

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : Application de ℕ dans ℝ, dont le terme d’indice n est noté uₙ et dont l’ensemble ordonné des termes se note (uₙ).

📝 Points essentiels

📌 Deux suites (uₙ) et (vₙ) sont égales si et seulement si uₙ = vₙ pour tout n, même si des suites distinctes peuvent avoir le même ensemble de valeurs.

• Une suite définie à partir du rang n₀ peut être ramenée à un index commençant à zéro en posant vₙ = uₙ₊ₙ₀.

📌 Une propriété est vérifiée à partir d’un certain rang s’il existe N tel qu’elle soit vraie pour tout n ≥ N.

💡 Astuce mémo

La suite (uₙ) est l’application entière ; uₙ est une valeur d’indice n.

📖 2. Suites et modèles discrets

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie par une formule explicite, une relation de récurrence ou une relation quelconque décrivant ses termes.

📐 Formule - Le modèle de Malthus en temps discret s’écrit $u_{n+1}=(1+a-b)u_n$, où a est le taux annuel de natalité et b le taux annuel de mortalité.

📐 Formule - Le modèle de Verhulst en temps discret s’écrit $u_{n+1}-u_n=\alpha u_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)$, avec $K=\frac{\alpha}{\beta}$ et α, β ≥ 0.

Compléments

• La suite définie par uₙ = 5n + 4 vérifie u₉ = 49.

• Pour la récurrence u₀ = u₁ = 1 et uₙ = uₙ₋₁ + uₙ₋₂ pour n ≥ 2, le calcul de u₉ nécessite celui de tous les termes précédents.

📐 Formule - Avec un capital C placé à 10 % d’intérêt annuel composé, la somme après n années vérifie $u_0=C,\quad u_{n+1}=1{,}1u_n$.

• Dans le problème des lapins de Fibonacci, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple qui ne devient productif qu’après deux mois. - Leonardo Fibonacci, 1202

📌 Un phénomène dépendant du temps se modélise par une suite récurrente en temps discret ou par une équation différentielle en temps continu.

📖 3. Opérations et types de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite constante : Une suite réelle est constante s’il existe a ∈ ℝ tel que uₙ = a pour tout n ∈ ℕ.
• Suite stationnaire : Une suite réelle est stationnaire s’il existe a ∈ ℝ et N ∈ ℕ tels que uₙ = a pour tout n ≥ N.
• Suite périodique : Suite telle qu’il existe un entier positif p avec uₙ₊ₚ = uₙ pour tout n ; sa période est le plus petit entier positif vérifiant cette propriété.

📝 Points essentiels

• Les opérations terme à terme sur les suites sont :

  • l’addition
  • la multiplication
  • la multiplication par un scalaire

• Une suite constante est 1-périodique, stationnaire et bornée ; toute suite périodique ne prend que les valeurs de u₀ à uₚ₋₁.

📖 4. Variation et bornes des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ, et monotone si elle est croissante ou décroissante.
• Suite bornée : Une suite est majorée si ses termes sont tous inférieurs ou égaux à un réel, minorée s’ils sont tous supérieurs ou égaux à un réel, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Une suite strictement croissante vérifie uₙ₊₁ > uₙ pour tout n, et une suite strictement décroissante vérifie uₙ₊₁ < uₙ pour tout n.

• La suite uₙ = −n² + 1 est strictement décroissante, car uₙ₊₁ − uₙ = −2n − 1 < 0.

• Pour montrer par récurrence qu’une propriété portant sur une suite est vraie à tout rang, on vérifie l’initialisation, puis l’hérédité, avant de conclure par le principe de récurrence.

📌 Une suite est bornée si et seulement s’il existe M ≥ 0 tel que |uₙ| ≤ M pour tout n.

• La suite uₙ = sin n est bornée, car |uₙ| ≤ 1 pour tout n.

📖 5. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite telle que uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout n, où r est sa raison.
• Suite géométrique : Suite telle que uₙ₊₁ = quₙ pour tout n, où q est sa raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme général d’une suite arithmétique vérifie $u_n=u_0+nr$ et, plus généralement, $u_n=u_p+(n-p)r$.

Compléments

📌 Une suite arithmétique est constante si r = 0, strictement croissante si r > 0 et strictement décroissante si r < 0.

• Une suite est arithmétique si et seulement si uₙ + uₙ₊₂ = 2uₙ₊₁ pour tout n.

📐 Formule - La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique est $S_n=nu_0+\frac{n(n-1)}{2}r=\frac{n}{2}(u_0+u_{n-1})$.

📐 Formule - Le terme général d’une suite géométrique vérifie $u_n=u_0q^n$ et, plus généralement, $u_n=u_pq^{n-p}$.

📐 Formule - La somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison q ≠ 1 est $S_n=u_0\frac{1-q^n}{1-q}$, tandis que pour q = 1 elle vaut $S_n=nu_0$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : écart constant ; géométrique : quotient constant.

📖 6. Récurrences linéaires d’ordre deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Une suite est arithmético-géométrique s’il existe a et b réels tels que uₙ₊₁ = auₙ + b pour tout n.
• Récurrence linéaire d’ordre deux : Une suite vérifie une récurrence linéaire d’ordre deux si, pour a réel et b réel non nul, uₙ₊₂ = auₙ₊₁ + buₙ pour tout n.
• Équation caractéristique : L’équation caractéristique associée à uₙ₊₂ = auₙ₊₁ + buₙ est x² = ax + b ; une racine q fournit une solution géométrique de raison q.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si l’équation caractéristique a deux racines réelles distinctes r₁ et r₂, les solutions sont de la forme $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$.

📐 Formule - Si l’équation caractéristique a une racine réelle double r, les solutions sont de la forme $u_n=(\lambda n+\mu)r^n$.

📐 Formule - Si les racines caractéristiques sont complexes conjuguées ω et ω̄, avec r = |ω| et θ = arg ω, les solutions réelles sont de la forme $u_n=\lambda r^n\cos(n\theta)+\mu r^n\sin(n\theta)$.

Compléments

• Si a ≠ 1 et si α vérifie α = aα + b, alors uₙ = α + (u₀ − α)aⁿ.

• Les deux premiers termes déterminent une unique suite vérifiant une récurrence linéaire d’ordre deux donnée.

💡 Astuce mémo

Racines distinctes, racine double, racines complexes : trois formes de solution.

📖 7. Limite et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une suite : Une suite (uₙ) converge vers ℓ si, pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N implique |uₙ − ℓ| ≤ ε.

★ À maîtriser

📌 La limite d’une suite convergente est unique, et une suite est convergente si elle admet une limite réelle finie.

📌 Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée n’est pas nécessairement convergente.

Compléments

• Pour établir une limite à partir de sa définition, on fixe ε > 0, on calcule |uₙ − ℓ| puis on choisit N en fonction de ε afin que cette distance soit au plus ε pour n ≥ N.

• La suite définie par uₙ = 1/n pour n ≥ 1 converge vers 0.

• La suite uₙ = (n + 1)/(n + 2) converge vers 1, et la suite wₙ = 3/2ⁿ⁺¹ converge vers 0.

📌 Modifier un nombre fini de termes ne change ni la nature convergente ou divergente d’une suite ni, si elle converge, sa limite.

📌 Si uₙ tend vers 0 et si (vₙ) est bornée, alors uₙvₙ tend vers 0.

📖 8. Sous-suites et opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite extraite : Suite de la forme vₙ = uφ(n), où φ : ℕ → ℕ est strictement croissante.
• Valeur d’adhérence : Limite d’une de ses suites extraites convergentes.

★ À maîtriser

• Toute suite extraite d’une suite convergeant vers ℓ converge également vers ℓ.

• Une suite converge vers ℓ si et seulement si les deux sous-suites (u₂ₙ) et (u₂ₙ₊₁) convergent toutes deux vers ℓ.

• Si (uₙ) et (vₙ) convergent respectivement vers ℓ et ℓ′, alors leurs somme, leur produit par un scalaire λ, leur produit et la suite (|uₙ|) convergent respectivement vers ℓ + ℓ′, λℓ, ℓℓ′ et |ℓ|.

• Si uₙ converge vers ℓ ≠ 0, alors 1/uₙ est définie à partir d’un certain rang et converge vers 1/ℓ.

Compléments

• Si φ : ℕ → ℕ est strictement croissante, alors φ(n) ≥ n pour tout n.

• Une suite convergente n’a que sa limite comme valeur d’adhérence ; une suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence est divergente.

• Une suite peut avoir une seule valeur d’adhérence sans converger, comme uₙ = (1 − (−1)ⁿ)n, dont l’unique valeur d’adhérence est 0 malgré la divergence.

• Si une suite converge vers ℓ et ℓ > b, alors ses termes sont strictement supérieurs à b à partir d’un certain rang ; l’énoncé analogue vaut si ℓ < b.

📖 9. Opérations sur les limites finies

📝 Points essentiels

• Si deux suites convergent respectivement vers l et l′, leur somme converge vers l + l′, leur produit vers ll′ et la suite de leurs valeurs absolues vers |l|.

• Si (un) converge vers l et λ est un scalaire, alors (λun) converge vers λl.

📌 Si (un) converge vers une limite l non nulle, alors un est non nul à partir d’un certain rang et 1/un converge vers 1/l.

📖 10. Ordre et encadrement des limites

★ À maîtriser

📌 Si une suite convergente est positive à partir d’un certain rang, sa limite est positive ou nulle ; si elle est négative à partir d’un certain rang, sa limite est négative ou nulle.

📌 Si vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang et si vn et wn convergent vers la même limite l, alors un converge vers l.

Compléments

📌 Si un ≥ a à partir d’un certain rang pour une suite convergente, alors sa limite est supérieure ou égale à a ; de même, un ≤ a entraîne une limite inférieure ou égale à a.

📌 Si deux suites convergentes vérifient un ≤ vn à partir d’un certain rang, alors lim un ≤ lim vn.

• Comme |sin n/n| ≤ 1/n et que 1/n converge vers 0, la suite sin n/n converge vers 0 par le théorème des gendarmes.

💡 Astuce mémo

Les deux gendarmes vn et wn serrent un au voisinage de l.

📖 11. Limites infinies et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A > 0, ses termes vérifient un ≥ A à partir d’un certain rang ; elle tend vers −∞ si un ≤ −A à partir d’un certain rang pour tout A > 0.

★ À maîtriser

• Les formes indéterminées indiquées pour les sommes et produits sont (+∞) + (−∞), 0 × (+∞) et 0 × (−∞).

Compléments

• Les règles données pour les sommes et produits s’étendent aux limites infinies pour l + (+∞), l + (−∞), (+∞) + (+∞), (−∞) + (−∞), l × (+∞), l × (−∞), (+∞) × (−∞), (+∞) × (+∞) et (−∞) × (−∞), avec les signes déterminés par ceux des facteurs.

📌 Si un est strictement positive à partir d’un certain rang et tend vers 0, alors 1/un tend vers +∞.

📖 12. Limites des suites usuelles

📝 Points essentiels

📌 Une suite arithmétique de raison r tend vers +∞ si r > 0, vers −∞ si r < 0 et converge vers u0 si r = 0.

📌 Pour une suite géométrique de premier terme u0 ≠ 0 et de raison q, si q > 1 elle tend vers +∞ lorsque u0 > 0 et vers −∞ lorsque u0 < 0 ; si q = 1 elle est constante égale à u0 ; si −1 < q < 1 elle converge vers 0 ; si q ≤ −1 elle diverge.

💡 Astuce mémo

Raison positive : fuite vers l’infini ; raison géométrique de module inférieur à 1 : retour vers 0.

📖 13. Convergence monotone et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : La borne supérieure d’une suite majorée est la borne supérieure de l’ensemble de ses valeurs ; la borne inférieure d’une suite minorée est la borne inférieure de cet ensemble.

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante et majorée converge vers la borne supérieure de ses valeurs ; toute suite décroissante et minorée converge vers leur borne inférieure.

Compléments

📌 Toute suite croissante non majorée tend vers +∞ ; toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.

• Pour l’ensemble A = {1/n : n ∈ N*}, inf A = 0 et max A = sup A = 1.

💡 Astuce mémo

Croissante + majorée : limite finie ; croissante non majorée : +∞.

📖 14. Suites adjacentes et de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites réelles sont adjacentes si la première est croissante, la seconde décroissante et si leur différence vn − un converge vers 0.
• Suite de Cauchy : Une suite est de Cauchy si, pour tout ε > 0, il existe N tel que |un − um| ≤ ε pour tous n,m ≥ N.

★ À maîtriser

📌 Deux suites adjacentes convergent vers une même limite l et vérifient un ≤ l ≤ vn pour tout n.

📌 Toute suite de Cauchy est bornée, et une suite réelle converge si et seulement si elle est de Cauchy.

Compléments

📌 Si an ≤ bn, si les segments [an+1,bn+1] sont inclus dans [an,bn] et si bn − an tend vers 0, leur intersection contient un unique réel l.

📌 Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente.

💡 Astuce mémo

Deux suites adjacentes encadrent leur limite commune.

📖 15. Suites récurrentes

★ À maîtriser

📌 Si une suite récurrente vérifie un+1 = f(un), converge vers une limite finie l et si f est continue en l, alors f(l) = l.

Compléments

📌 Si f est croissante sur un intervalle contenant les termes de la suite récurrente à partir d’un rang, alors cette suite est monotone à partir de ce rang.

📖 16. Densité et approximation séquentielle

★ À maîtriser

📌 Un réel x appartient à l’adhérence d’une partie A de R si et seulement s’il est limite d’une suite d’éléments de A.

Compléments

📌 Une partie A de R est dense dans R si et seulement si tout réel x est limite d’une suite d’éléments de A.

📖 17. Notations de Landau

🔑 Notions clés & Définitions

• Petit o : La suite un est négligeable devant vn s’il existe une suite εn tendant vers 0 telle que un = εn vn à partir d’un certain rang ; on note alors un = o(vn).
• Grand O : La suite un est dominée par vn s’il existe une suite bornée bn telle que un = bn vn à partir d’un certain rang ; on note alors un = O(vn).

★ À maîtriser

📌 Si un = o(vn), alors un = O(vn), mais la réciproque est fausse en général, comme le montre sin n = O(1) sans que sin n = o(1).

Compléments

📌 Si vn ne s’annule pas à partir d’un certain rang, un = o(vn) équivaut à un/vn tendant vers 0.

• Les règles de calcul de petit o comprennent la transitivité, le produit, la somme de deux suites négligeables devant une même suite, la multiplication par une constante et la multiplication par une suite.

📌 Si vn ne s’annule pas à partir d’un certain rang, un = O(vn) équivaut à ce que la suite un/vn soit bornée à partir de ce rang.

💡 Astuce mémo

Petit o tend vers zéro en proportion ; grand O reste borné en proportion.

📖 18. Suites équivalentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites équivalentes : Deux suites un et vn sont équivalentes s’il existe une suite αn tendant vers 1 telle que un = αn vn à partir d’un certain rang ; on note un ∼ vn.

★ À maîtriser

📌 Si un ∼ vn et vn tend vers une limite finie l, alors un tend vers l ; réciproquement, si un tend vers l ≠ 0, alors un ∼ l.

• Si xn tend vers 0, alors ln(1 + xn) ∼ xn, sin(xn) ∼ xn, tan(xn) ∼ xn, cos(xn) ∼ 1, 1 − cos(xn) ∼ xn²/2, exn ∼ 1, exn − 1 ∼ xn, (1 + xn)α ∼ 1 et (1 + xn)α − 1 ∼ αxn pour α réel.

Compléments

• L’équivalence des suites est transitive, symétrique et réflexive.

• Pour deux suites, un ∼ vn équivaut à un − vn = o(vn), et aussi à vn − un = o(un) ; en particulier, un = o(vn) équivaut à un + vn ∼ vn.

• Si un ∼ vn et si vn ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors un ne s’annule pas à partir d’un certain rang et un et vn sont de même signe strict à partir d’un certain rang.

• Deux suites qui ont la même limite ne sont pas nécessairement équivalentes, comme un = 1/n et vn = 1/n², qui tendent toutes deux vers 0.

• Les équivalents sont conservés par valeur absolue, produit, puissance entière fixe, inverse sous condition de non-annulation et quotient sous condition de non-annulation.

• L’équivalence n’est généralement conservée ni par addition de deux équivalents, ni par composition par une fonction, ni par élévation à une puissance dépendant de n.

📌 Si P(x) = aq xq + ⋯ + ap xp avec q ≤ p et aq, ap non nuls, alors P(n) ∼ ap np et P(1/n) ∼ aq/nq.

• Pour α > 0, (ln n)β = o(nα), nα = o(eγn) pour γ > 0, et (ln n)β = o(eγn) pour γ > 0 ; de plus, ln n = o(n) et n = o(en).

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques