Fiche de révision : Remise à niveau en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Puissances et racines carrées
2. Fractions et équations
3. Développement et factorisation
4. Identités remarquables
5. Fonctions et lecture graphique
6. Variations et dérivées
7. Limites à l’infini
8. Limites en un point

📖 1. Puissances et racines carrées

★ À maîtriser

• Pour multiplier deux puissances de même base, on additionne leurs exposants : $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

• Pour diviser deux puissances de même base, on soustrait leurs exposants : $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

• Un exposant négatif indique l’inverse de la puissance correspondante et ne rend pas le résultat négatif : $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.

Compléments

📌 Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants : $(a^m)^n=a^{mn}$.

• Pour simplifier une racine carrée, on extrait les facteurs correspondant à des carrés parfaits, par exemple $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

📌 On ne peut additionner ou soustraire que des racines carrées semblables, par exemple $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.

📌 Le produit de deux racines carrées de même radicande vérifie $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$.

💡 Astuce mémo

Additionner les exposants à la multiplication, les soustraire à la division.

📖 2. Fractions et équations

★ À maîtriser

📌 Pour additionner des fractions, il faut les écrire avec un dénominateur commun.

📌 Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

• Pour résoudre une équation, on effectue la même opération des deux côtés afin d’isoler l’inconnue.

Compléments

📐 Formule - Le produit de deux fractions est $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📖 3. Développement et factorisation

📝 Points essentiels

📌 La distributivité simple donne $a(b+c)=ab+ac$.

• Pour développer un produit de deux binômes, on calcule les quatre produits obtenus en multipliant chaque terme du premier binôme par chaque terme du second, puis on réduit les termes semblables.

📌 Pour factoriser une somme, on met en évidence son facteur commun, par exemple $6x+9x^2=3x(2+3x)$.

📖 4. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule - Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule - Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule - Le produit de la somme et de la différence de deux termes vérifie $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• La factorisation de $x^2-12x+36$ est $(x-6)^2$.

📖 5. Fonctions et lecture graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : la valeur de sortie f(x), tandis que x est la valeur d’entrée ou l’abscisse

★ À maîtriser

• 🔄 Pour lire graphiquement une image :
  1. Partir de l’abscisse sur l’axe des x.
  2. Rejoindre la courbe.
  3. Lire l’ordonnée sur l’axe des y.

Compléments

• Pour chercher l’image de x, on remplace x par sa valeur dans l’expression de f(x) et on calcule le résultat.

• Pour chercher un antécédent d’une valeur y, on résout l’équation $f(x)=y$.

• 🔄 Pour lire graphiquement un antécédent :

  1. Partir de l’ordonnée sur l’axe des y.
  2. Rejoindre la courbe.
  3. Lire l’abscisse sur l’axe des x.

💡 Astuce mémo

Image : axe des x → courbe → axe des y ; antécédent : axe des y → courbe → axe des x.

📖 6. Variations et dérivées

★ À maîtriser

📌 Si la dérivée est négative sur un intervalle, la fonction y décroît ; si elle est positive, la fonction y croît.

📐 Formule - La dérivée d’une puissance vérifie $(x^n)'=nx^{n-1}$.

• Pour déterminer un extremum à l’aide de la dérivée, on résout $f'(x)=0$, on étudie le signe de la dérivée de part et d’autre, puis on vérifie si ce signe change.

Compléments

• Les variations d’une fonction se lisent de gauche à droite, dans l’ordre croissant des valeurs de x.

📐 Formule - La dérivée d’une constante est nulle : $(c)'=0$.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → variations → extremum si le signe change.

📖 7. Limites à l’infini

★ À maîtriser

• Pour une puissance paire, $x^n$ tend vers $+\infty$ lorsque x tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.

• Pour une puissance impaire, $x^n$ conserve le signe de x et tend donc vers $+\infty$ si x tend vers $+\infty$, et vers $-\infty$ si x tend vers $-\infty$.

• À l’infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré, dont la parité et le coefficient déterminent la limite.

• Pour une fraction de polynômes dont le numérateur et le dénominateur ont le même degré, la limite à l’infini est le rapport des coefficients des termes dominants.

• Si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la fraction de polynômes tend vers 0 à l’infini.

Compléments

📌 Si le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur, le comportement à l’infini est déterminé par le quotient des termes dominants, dont la limite doit être étudiée.

💡 Astuce mémo

Terme dominant → direction de x → parité → signe du coefficient → limite.

📖 8. Limites en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : le comportement de f(x) lorsque x se rapproche d’une valeur ou devient extrêmement grand
• Limite à droite : la notation $x\to a^+$ signifie que x se rapproche de a par des valeurs supérieures à a
• Limite à gauche : la notation $x\to a^-$ signifie que x se rapproche de a par des valeurs inférieures à a

★ À maîtriser

• La forme $\frac{0}{0}$ est indéterminée et ne signifie pas que la limite vaut 0 ; il faut transformer l’expression, notamment en factorisant puis en simplifiant un facteur commun si possible.

• Pour une limite avec un numérateur non nul et un dénominateur qui tend vers 0, on étudie le signe du dénominateur de chaque côté du point.

• Une limite en un point n’existe pas lorsque les limites à gauche et à droite sont différentes.

Compléments

📌 Si le remplacement direct dans une limite donne un nombre défini ordinaire, on peut calculer directement la limite par continuité dans les exemples du cours.

💡 Astuce mémo

0/0 se transforme ; nombre non nul sur 0 impose d’étudier gauche et droite.