QCM : Remise à niveau en mathématiques (24 questions)

Question 1

1. Une recette demande de calculer $\frac{3}{5}\div\frac{2}{7}$ . Quelle opération équivalente faut-il effectuer ?

\frac{5}{3}\times\frac{2}{7}

\frac{3}{2}\times\frac{5}{7}

\frac{3}{5}\times\frac{7}{2}

\frac{3}{5}\times\frac{2}{7}

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : il faut donc remplacer $\frac{2}{7}$ par $\frac{7}{2}$ . $\frac{3}{5}\times\frac{2}{7}$ oublie l’inversion, et les deux autres transformations inversent à tort la fraction de départ ou plusieurs termes.

Answer

$$\frac{3}{5}\times\frac{7}{2}$$

Question 2

2. Une expression a pour terme dominant $-5x^6$ . Vers quelle limite ce terme tend-il lorsque $x$ tend vers $-infty$ ?

-\infty

+\infty

la limite n’existe pas

0

Explication

Comme l’exposant est pair, $x^6$ tend vers $+\infty$ des deux côtés, puis le coefficient négatif donne $-\infty$ . $+\infty$ oublie le coefficient, tandis que $0$ et l’absence de limite ne conviennent pas à cette puissance dominante.

Answer

$$-\infty$$

Question 3

3. Sur un graphique, une élève doit déterminer l’image de $x=2$ . Quel chemin doit-elle suivre ?

Partir de 2 sur l’axe des

x

, rejoindre la courbe, puis lire l’ordonnée

Partir de 2 sur l’axe des

x

, lire l’ordonnée, puis rejoindre la courbe

Partir de 2 sur l’axe des

x

, puis lire une autre abscisse sur cet axe

Partir de 2 sur l’axe des

y

, rejoindre la courbe, puis lire l’abscisse

Explication

Pour lire une image, on part de l’abscisse connue sur l’axe des $x$ , rejoint la courbe, puis lit l’ordonnée correspondante. Le trajet depuis l’axe des $y$ sert à rechercher un antécédent; lire avant d’atteindre la courbe ou rester sur l’axe des $x$ ne donne pas l’image.

Answer

Partir de 2 sur l’axe des $$x$$, rejoindre la courbe, puis lire l’ordonnée

Question 4

4. Une calculatrice affiche $4^{-2}$ . Quelle interprétation de cette valeur est correcte ?

16

2

-16

\frac{1}{16}

Explication

Un exposant négatif signifie que l’on prend l’inverse de la puissance : $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$ . $-16$ confond l’exposant avec un signe négatif devant le résultat, tandis que $16$ omet l’inverse et que $2$ soustrait l’exposant de la base.

Answer

$$\frac{1}{16}$$

Question 5

5. Pour résoudre $x-6=9$ , quelle opération faut-il effectuer des deux côtés pour isoler $x$ ?

Soustraire 6 des deux côtés

Ajouter 6 des deux côtés

Multiplier les deux côtés par 6

Ajouter 9 des deux côtés

Explication

Pour annuler la soustraction de 6, on ajoute 6 aux deux côtés, ce qui donne $x=15$ . Soustraire 6 ou ajouter 9 ne supprime pas le terme soustrait à $x$ , et multiplier par 6 ne l’isole pas.

Answer

Ajouter 6 des deux côtés

Question 6

6. Près de $x=2$ , le numérateur de $\frac{5}{x-2}$ reste positif et non nul. Que faut-il examiner pour déterminer le comportement de la fraction de chaque côté de $2$ ?

La valeur du numérateur uniquement au point

2

Le signe du numérateur à gauche et à droite de

2

Le signe du dénominateur à gauche et à droite de

2

Le degré du numérateur comparé à celui du dénominateur

Explication

Avec un numérateur non nul et un dénominateur qui tend vers zéro, le signe du dénominateur de chaque côté détermine le comportement de la fraction. Étudier le numérateur ou comparer les degrés ne permet pas d’établir ces limites latérales.

Answer

Le signe du dénominateur à gauche et à droite de $$2$$

Question 7

7. En remplaçant directement $x$ par $3$ dans $\frac{x^2-9}{x-3}$ , on obtient la forme $\frac{0}{0}$ . Quelle démarche permet de déterminer la limite ?

Remplacer la forme

\frac{0}{0}

par zéro

Conclure que la limite n’existe pas en raison de la division par zéro

Factoriser puis simplifier le facteur commun avant de calculer la limite

Faire tendre séparément le numérateur et le dénominateur vers zéro

Explication

La forme $\frac{0}{0}$ est indéterminée ; on factorise $x^2-9=(x-3)(x+3)$ , on simplifie le facteur commun, puis on évalue la limite. La réponse zéro confond forme indéterminée et limite nulle, et l’indéfinition au point ne suffit pas à conclure que la limite n’existe pas.

Answer

Factoriser puis simplifier le facteur commun avant de calculer la limite

Question 8

8. En utilisant l’identité remarquable du produit d’une somme par une différence, comment simplifier $(p+9)(p-9)$ ?

p^2-81

p^2+18p+81

p^2-18p+81

p^2+81

Explication

Le produit d’une somme et d’une différence vérifie $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ ; avec 9, on obtient $p^2-81$ . $p^2+81$ additionne les carrés, tandis que les expressions avec un terme en p proviennent des formules de carrés d’une somme ou d’une différence.

Answer

$$p^2-81$$

Question 9

9. Dans une simplification, une élève doit calculer $5^3\times 5^4$ . Quelle puissance obtient-elle ?

5^7

5^{-1}

5^{12}

10^7

Explication

Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants : $3+4=7$ . $5^{12}$ vient de la multiplication des exposants, $5^{-1}$ de leur soustraction et $10^7$ de l’addition des bases.

Answer

La fonction décroît

Answer

La limite en $$a$$ n’existe pas

Answer

$$x^2+x-12$$

Answer

$$\frac{11}{12}$$

Answer

$$t^2+10t+25$$

Answer

$$10x-15$$

Answer

$$-\infty$$

Answer

$$4y(2+3y)$$

Answer

La valeur de sortie $$f(4)$$

Answer

$$m^2-14m+49$$

Answer

Résoudre $$f'(x)=0$$, puis vérifier si la dérivée change de signe de part et d’autre

Question 10

10. Sur l’intervalle $[1;5]$ , la dérivée d’une fonction est négative. Quel sens de variation en déduit-on sur cet intervalle ?

La fonction décroît

La fonction croît

La fonction atteint nécessairement un maximum

La fonction reste constante

Explication

Une dérivée négative sur un intervalle indique que la fonction y décroît. La croissance correspond à une dérivée positive; le signe de la fonction elle-même ne détermine pas cette variation, et une dérivée négative ne signifie pas que la fonction est constante.

Question 11

11. Une fonction a pour limite $-2$ lorsque $x$ approche $a$ par la gauche et pour limite $4$ lorsqu’il approche $a$ par la droite. Quelle conclusion s’impose ?

La limite en

a

vaut

1

La limite en

a

vaut

4

La limite en

a

vaut

-2

La limite en

a

n’existe pas

Explication

Une limite en un point existe seulement si les limites à gauche et à droite coïncident ; ici $-2$ et $4$ sont différentes. La valeur $1$ est leur moyenne, tandis que $4$ et $-2$ ne retiennent qu’un seul côté.

Question 12

12. En développant puis en réduisant $(x+4)(x-3)$ , quel résultat obtient-on ?

x^2+x-12

x^2+x+12

x^2- x-12

x^2-12

Explication

Les quatre produits donnent $x^2-3x+4x-12$ , puis la réduction donne $x^2+x-12$ . $x^2-12$ omet les produits croisés, tandis que les autres résultats comportent une erreur de signe ou de réduction.

Question 13

13. Pour calculer $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$ , quelle transformation permet d’additionner correctement les fractions ?

\frac{5}{12}

\frac{11}{12}

\frac{3}{7}

\frac{2}{12}

Explication

Il faut d’abord utiliser un dénominateur commun : $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ et $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$ , donc la somme vaut $\frac{11}{12}$ . $\frac{3}{7}$ additionne les dénominateurs, $\frac{2}{12}$ multiplie les numérateurs et $\frac{5}{12}$ additionne les numérateurs sans les mettre au même dénominateur.

Question 14

14. En développant $(t+5)^2$ à l’aide de l’identité remarquable appropriée, quelle expression obtient-on ?

t^2+25

t^2+10t+25

t^2-10t+25

t^2+10t-25

Explication

Le carré d’une somme suit $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ : ici, les termes sont $t^2$ , $10t$ et 25. $t^2+25$ omet le double produit, $t^2-10t+25$ confond somme et différence, et le terme constant de $t^2+10t-25$ a le mauvais signe.

Question 15

15. En développant $5(2x-3)$ par distributivité simple, quel résultat obtient-on ?

5x-15

10x-15

10x+15

10x-3

Explication

La distributivité multiplie 5 par chacun des termes : $5\times2x=10x$ et $5\times(-3)=-15$ . $10x-3$ oublie de multiplier le terme constant, $10x+15$ inverse le signe, et $5x-15$ ne multiplie pas correctement le terme en x.

Question 16

16. Pour calculer la dérivée de $g(x)=x^5$ , quelle expression obtient-on ?

5x^5

x^4

5x^4

4x^5

Explication

La règle de dérivation d’une puissance donne $(x^n)'=nx^{n-1}$ ; ainsi $(x^5)'=5x^4$ . $5x^5$ conserve l’exposant, $x^4$ omet le coefficient 5 et $4x^5$ place incorrectement le coefficient.

Question 17

17. Pour $\frac{6x^4-1}{3x^4+2x}$ , quelle est la limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

0

\frac{1}{2}

3

2

Explication

Les deux polynômes sont de degré quatre ; la limite est le rapport des coefficients dominants, soit $\frac{6}{3}=2$ . $\frac{1}{2}$ inverse le rapport, $3$ soustrait les coefficients, et $0$ s’appliquerait à un numérateur de degré inférieur.

Question 18

18. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle limite tend $7x^5$ ?

0

la limite n’existe pas

+\infty

-\infty

Explication

Une puissance impaire conserve le signe de $x$ ; ici $x^5$ tend donc vers $-\infty$ et le coefficient positif ne change pas ce sens. $+\infty$ correspondrait à une inversion du signe, et la puissance ne tend pas vers zéro.

Question 19

19. Pour factoriser $8y+12y^2$ en mettant en évidence le plus grand facteur commun numérique et littéral, quelle expression convient ?

4(2y+3y^2)

2y(4+6y)

4y(2+3)

4y(2+3y)

Explication

Le facteur commun maximal est $4y$ : les quotients des termes sont 2 et 3y, d'où $4y(2+3y)$ . $4(2y+3y^2)$ laisse y en facteur dans la parenthèse, $2y(4+6y)$ n'extrait pas le plus grand facteur commun, et $4y(2+3)$ omet y dans le second terme.

Question 20

20. Pour une fonction $f$ , que désigne l’image de l’entrée $x=4$ ?

L’abscisse d’entrée 4

La valeur de sortie

f(4)

La valeur de

x

qui donne une sortie égale à 4

La fonction

f

dans son ensemble

Explication

L’image de 4 est la valeur de sortie obtenue en calculant $f(4)$ . Confondre l’image avec l’antécédent revient à chercher une entrée, tandis que l’abscisse 4 est l’entrée et non la sortie.

Question 21

21. Pour réduire $\frac{7^6}{7^2}$ , quel résultat faut-il écrire ?

1^4

7^8

7^4

7^{12}

Explication

Dans un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants : $6-2=4$ . $7^8$ correspond à leur addition, $7^{12}$ à leur multiplication et $1^4$ à une division erronée des bases.

Question 22

22. Quelle expression développée correspond à $(m-7)^2$ ?

m^2-14m-49

m^2+14m+49

m^2-14m+49

m^2+49

Explication

Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , ce qui donne $m^2-14m+49$ . Le signe positif devant $14m$ correspond au carré d’une somme, $m^2+49$ omet le double produit et $-49$ est une erreur sur le carré de 7.

Question 23

23. Une fonction a pour dérivée $f'(x)=2x-6$ . Quelle démarche permet de déterminer si le point critique correspondant est un extremum ?

Résoudre

f'(x)=0

, puis vérifier si la dérivée change de signe de part et d’autre

Chercher où

f(x)=0

, puis vérifier si la fonction change de signe

Résoudre

f'(x)=0

, puis conclure à un extremum sans étudier le signe

Calculer

f(x)

au point critique, puis conclure sans examiner la dérivée

Explication

Pour établir un extremum par la dérivée, on résout $f'(x)=0$ , puis on étudie le signe de la dérivée de part et d’autre afin de vérifier qu’il change. L’annulation seule ne garantit pas un extremum; les zéros de $f$ ou la seule valeur de $f$ ne remplacent pas cette étude de signe.

Question 24

24. Quelle est la limite de $\frac{4x^2+1}{3x^5-2}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

\frac{4}{3}

0

+\infty

\frac{3}{4}

Explication

Le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, donc la fraction tend vers zéro. $\frac{4}{3}$ et $\frac{3}{4}$ appliquent à tort le rapport des coefficients dominants, et $+\infty$ inverse l’effet de la comparaison des degrés.

QCM : Remise à niveau en mathématiques (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une recette demande de calculer $\frac{3}{5}\div\frac{2}{7}$ . Quelle opération équivalente faut-il effectuer ?

2. Une expression a pour terme dominant $-5x^6$ . Vers quelle limite ce terme tend-il lorsque $x$ tend vers $-infty$ ?

3. Sur un graphique, une élève doit déterminer l’image de $x=2$ . Quel chemin doit-elle suivre ?

4. Une calculatrice affiche $4^{-2}$ . Quelle interprétation de cette valeur est correcte ?

5. Pour résoudre $x-6=9$ , quelle opération faut-il effectuer des deux côtés pour isoler $x$ ?

6. Près de $x=2$ , le numérateur de $\frac{5}{x-2}$ reste positif et non nul. Que faut-il examiner pour déterminer le comportement de la fraction de chaque côté de $2$ ?

7. En remplaçant directement $x$ par $3$ dans $\frac{x^2-9}{x-3}$ , on obtient la forme $\frac{0}{0}$ . Quelle démarche permet de déterminer la limite ?

8. En utilisant l’identité remarquable du produit d’une somme par une différence, comment simplifier $(p+9)(p-9)$ ?

9. Dans une simplification, une élève doit calculer $5^3\times 5^4$ . Quelle puissance obtient-elle ?

10. Sur l’intervalle $[1;5]$ , la dérivée d’une fonction est négative. Quel sens de variation en déduit-on sur cet intervalle ?

11. Une fonction a pour limite $-2$ lorsque $x$ approche $a$ par la gauche et pour limite $4$ lorsqu’il approche $a$ par la droite. Quelle conclusion s’impose ?

12. En développant puis en réduisant $(x+4)(x-3)$ , quel résultat obtient-on ?

13. Pour calculer $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$ , quelle transformation permet d’additionner correctement les fractions ?

14. En développant $(t+5)^2$ à l’aide de l’identité remarquable appropriée, quelle expression obtient-on ?

15. En développant $5(2x-3)$ par distributivité simple, quel résultat obtient-on ?

16. Pour calculer la dérivée de $g(x)=x^5$ , quelle expression obtient-on ?

17. Pour $\frac{6x^4-1}{3x^4+2x}$ , quelle est la limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

18. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle limite tend $7x^5$ ?

19. Pour factoriser $8y+12y^2$ en mettant en évidence le plus grand facteur commun numérique et littéral, quelle expression convient ?

20. Pour une fonction $f$ , que désigne l’image de l’entrée $x=4$ ?

21. Pour réduire $\frac{7^6}{7^2}$ , quel résultat faut-il écrire ?

22. Quelle expression développée correspond à $(m-7)^2$ ?

23. Une fonction a pour dérivée $f'(x)=2x-6$ . Quelle démarche permet de déterminer si le point critique correspondant est un extremum ?

24. Quelle est la limite de $\frac{4x^2+1}{3x^5-2}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

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QCM : Remise à niveau en mathématiques (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une recette demande de calculer 35÷27\frac{3}{5}\div\frac{2}{7}53​÷72​. Quelle opération équivalente faut-il effectuer ?

2. Une expression a pour terme dominant −5x6-5x^6−5x6. Vers quelle limite ce terme tend-il lorsque xxx tend vers −infty-infty−infty ?

3. Sur un graphique, une élève doit déterminer l’image de x=2x=2x=2. Quel chemin doit-elle suivre ?

4. Une calculatrice affiche 4−24^{-2}4−2. Quelle interprétation de cette valeur est correcte ?

5. Pour résoudre x−6=9x-6=9x−6=9, quelle opération faut-il effectuer des deux côtés pour isoler xxx ?

6. Près de x=2x=2x=2, le numérateur de 5x−2\frac{5}{x-2}x−25​ reste positif et non nul. Que faut-il examiner pour déterminer le comportement de la fraction de chaque côté de 222 ?

7. En remplaçant directement xxx par 333 dans x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}x−3x2−9​, on obtient la forme 00\frac{0}{0}00​. Quelle démarche permet de déterminer la limite ?

8. En utilisant l’identité remarquable du produit d’une somme par une différence, comment simplifier (p+9)(p−9) (p+9)(p-9) (p+9)(p−9) ?

9. Dans une simplification, une élève doit calculer 53×545^3\times 5^453×54. Quelle puissance obtient-elle ?

10. Sur l’intervalle [1;5][1;5][1;5], la dérivée d’une fonction est négative. Quel sens de variation en déduit-on sur cet intervalle ?

11. Une fonction a pour limite −2-2−2 lorsque xxx approche aaa par la gauche et pour limite 444 lorsqu’il approche aaa par la droite. Quelle conclusion s’impose ?

12. En développant puis en réduisant (x+4)(x−3)(x+4)(x-3)(x+4)(x−3), quel résultat obtient-on ?

13. Pour calculer 23+14\frac{2}{3}+\frac{1}{4}32​+41​, quelle transformation permet d’additionner correctement les fractions ?

14. En développant (t+5)2 (t+5)^2 (t+5)2 à l’aide de l’identité remarquable appropriée, quelle expression obtient-on ?

15. En développant 5(2x−3)5(2x-3)5(2x−3) par distributivité simple, quel résultat obtient-on ?

16. Pour calculer la dérivée de g(x)=x5g(x)=x^5g(x)=x5, quelle expression obtient-on ?

17. Pour 6x4−13x4+2x\frac{6x^4-1}{3x^4+2x}3x4+2x6x4−1​, quelle est la limite lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

18. Lorsque xxx tend vers −∞-\infty−∞, vers quelle limite tend 7x57x^57x5 ?

19. Pour factoriser 8y+12y28y+12y^28y+12y2 en mettant en évidence le plus grand facteur commun numérique et littéral, quelle expression convient ?

20. Pour une fonction fff, que désigne l’image de l’entrée x=4x=4x=4 ?

21. Pour réduire 7672\frac{7^6}{7^2}7276​, quel résultat faut-il écrire ?

22. Quelle expression développée correspond à (m−7)2 (m-7)^2 (m−7)2 ?

23. Une fonction a pour dérivée f′(x)=2x−6f'(x)=2x-6f′(x)=2x−6. Quelle démarche permet de déterminer si le point critique correspondant est un extremum ?

24. Quelle est la limite de 4x2+13x5−2\frac{4x^2+1}{3x^5-2}3x5−24x2+1​ lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

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1. Une recette demande de calculer $\frac{3}{5}\div\frac{2}{7}$ . Quelle opération équivalente faut-il effectuer ?

2. Une expression a pour terme dominant $-5x^6$ . Vers quelle limite ce terme tend-il lorsque $x$ tend vers $-infty$ ?

3. Sur un graphique, une élève doit déterminer l’image de $x=2$ . Quel chemin doit-elle suivre ?

4. Une calculatrice affiche $4^{-2}$ . Quelle interprétation de cette valeur est correcte ?

5. Pour résoudre $x-6=9$ , quelle opération faut-il effectuer des deux côtés pour isoler $x$ ?

6. Près de $x=2$ , le numérateur de $\frac{5}{x-2}$ reste positif et non nul. Que faut-il examiner pour déterminer le comportement de la fraction de chaque côté de $2$ ?

7. En remplaçant directement $x$ par $3$ dans $\frac{x^2-9}{x-3}$ , on obtient la forme $\frac{0}{0}$ . Quelle démarche permet de déterminer la limite ?

8. En utilisant l’identité remarquable du produit d’une somme par une différence, comment simplifier $(p+9)(p-9)$ ?

9. Dans une simplification, une élève doit calculer $5^3\times 5^4$ . Quelle puissance obtient-elle ?

10. Sur l’intervalle $[1;5]$ , la dérivée d’une fonction est négative. Quel sens de variation en déduit-on sur cet intervalle ?

11. Une fonction a pour limite $-2$ lorsque $x$ approche $a$ par la gauche et pour limite $4$ lorsqu’il approche $a$ par la droite. Quelle conclusion s’impose ?

12. En développant puis en réduisant $(x+4)(x-3)$ , quel résultat obtient-on ?

13. Pour calculer $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$ , quelle transformation permet d’additionner correctement les fractions ?

14. En développant $(t+5)^2$ à l’aide de l’identité remarquable appropriée, quelle expression obtient-on ?

15. En développant $5(2x-3)$ par distributivité simple, quel résultat obtient-on ?

16. Pour calculer la dérivée de $g(x)=x^5$ , quelle expression obtient-on ?

17. Pour $\frac{6x^4-1}{3x^4+2x}$ , quelle est la limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

18. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle limite tend $7x^5$ ?

19. Pour factoriser $8y+12y^2$ en mettant en évidence le plus grand facteur commun numérique et littéral, quelle expression convient ?

20. Pour une fonction $f$ , que désigne l’image de l’entrée $x=4$ ?

21. Pour réduire $\frac{7^6}{7^2}$ , quel résultat faut-il écrire ?

22. Quelle expression développée correspond à $(m-7)^2$ ?

23. Une fonction a pour dérivée $f'(x)=2x-6$ . Quelle démarche permet de déterminer si le point critique correspondant est un extremum ?

24. Quelle est la limite de $\frac{4x^2+1}{3x^5-2}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?