QCM : Suites réelles et convergence (11 questions)

Question 1

1. Une suite réelle $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$ . Quelle représentation mathématique décrit cette suite ?

Un ensemble de ℝ sans ordre

Une application de ℕ dans ℝ

Une application de ℝ dans ℕ

Un réel associé à chaque suite

Explication

Une suite réelle est une application de ℕ dans ℝ : chaque indice naturel détermine un terme réel. L’ensemble non ordonné oublie l’organisation des termes, ℝ comme domaine inverse les rôles de l’indice et du terme, et un réel associé à une suite ne décrit pas ses termes.

Answer

Une application de ℕ dans ℝ

Question 2

2. Deux suites réelles sont définies sur les mêmes indices et ont les mêmes valeurs, mais dans un ordre différent. Quelle conclusion peut-on tirer sur leur égalité ?

Elles sont distinctes si un terme diffère au même indice

Elles sont égales si elles ont le même ensemble de valeurs

Elles sont égales dès que leurs valeurs coïncident

Elles sont distinctes seulement si leurs indices diffèrent

Explication

Deux suites sont égales si et seulement si leurs termes coïncident à chaque même indice. Avoir le même ensemble de valeurs ne suffit pas, car cet ensemble ne conserve ni l’ordre ni les répétitions; des domaines d’indices différents ne sont pas nécessaires pour qu’elles soient distinctes.

Answer

Elles sont distinctes si un terme diffère au même indice

Question 3

3. Dans une population, les naissances annuelles représentent une proportion $a$ de l’effectif et les décès une proportion $b$ . Quelle relation décrit son évolution selon le modèle de Malthus discret ?

u_{n+1}=(1+b-a)u_n

u_{n+1}=(1+a+b)u_n

u_{n+1}-u_n=\alpha u_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)

u_{n+1}=(1+a-b)u_n

Explication

Dans le modèle de Malthus, naissances et décès sont proportionnels à l’effectif, d’où l’effectif suivant égal à $(1+a-b)u_n$ . La formule avec $K$ relève du modèle de Verhulst, l’inversion échange natalité et mortalité, et la somme des taux omet le retrait des décès.

Answer

$$u_{n+1}=(1+a-b)u_n$$

Question 4

4. Un modèle de Verhulst discret décrit une population d’effectif $u_n$ , avec paramètres $\alpha$ , $\beta\geq 0$ et capacité $K=\frac{\alpha}{\beta}$ . Quelle relation d’évolution faut-il utiliser ?

K=\frac{\beta}{\alpha},\quad u_{n+1}-u_n=\alpha u_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)

u_{n+1}=\alpha u_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)

u_{n+1}-u_n=\alpha u_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)

u_{n+1}=(1+\alpha-\beta)u_n

Explication

Le modèle discret de Verhulst exprime l’accroissement par $u_{n+1}-u_n=\alpha u_n(1-u_n/K)$ , avec $K=\alpha/\beta$ . La relation linéaire correspond à Malthus, la formule sans $u_n$ retranche à tort l’effectif courant, et $\beta/\alpha$ inverse le rapport de la capacité.

Answer

$$u_{n+1}-u_n=\alpha u_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)$$

Question 5

5. Qu’est-ce qu’une suite stationnaire ?

Une suite dont les termes se répètent selon une période fixe dès le premier rang.

Une suite dont les termes sont égaux à une même constante à partir d’un certain rang.

Une suite dont les termes sont égaux à une même constante pour tout indice naturel.

Une suite obtenue en additionnant une constante à chacun des termes d’une autre suite.

Explication

Une suite stationnaire prend une valeur constante à partir d’un certain rang, sans que ses premiers termes doivent être égaux à cette valeur. Une suite constante, contrairement à une suite stationnaire, prend la même valeur pour tout indice naturel.

Answer

Une suite dont les termes sont égaux à une même constante à partir d’un certain rang.

Question 6

6. Pour la suite définie par $u_n=-n^2+1$ , quelle différence entre deux termes consécutifs permet de justifier sa décroissance stricte ?

u_{n+1}-u_n=-2n-1<0

u_{n+1}-u_n=-n^2+1<0

u_{n+1}-u_n=2n+1>0

u_{n+1}-u_n=2n-1>0

Explication

La différence vaut $-2n-1$ et est négative pour tout entier naturel $n$ , ce qui établit que chaque terme est inférieur au précédent. L’expression $2n+1$ est positive et correspondrait à une variation croissante, non décroissante.

Answer

$$u_{n+1}-u_n=-2n-1<0$$

Question 7

7. Quel est le rôle de la raison $r$ dans la variation d’une suite arithmétique ?

Elle correspond à la moyenne des termes et détermine si la suite est bornée.

Elle fixe la valeur vers laquelle les termes convergent, quelle que soit la suite.

Elle indique la différence constante entre deux termes consécutifs et détermine le sens de variation.

Elle indique le quotient constant entre deux termes consécutifs et détermine leur signe.

Explication

Dans une suite arithmétique, $r$ est la différence constante entre deux termes consécutifs ; son signe détermine si la suite est constante, croissante ou décroissante. Le quotient constant caractérise plutôt une suite géométrique.

Answer

Elle indique la différence constante entre deux termes consécutifs et détermine le sens de variation.

Question 8

8. Lorsque l’équation caractéristique d’une récurrence linéaire d’ordre deux possède une racine réelle double $r$ , sous quelle forme s’écrivent les solutions ?

u_n=(\lambda n+\mu)+r^n

u_n=\lambda r^n+\mu n

u_n=(\lambda n+\mu)r^n

u_n=\lambda r^n+\mu(-r)^n

Explication

Une racine caractéristique réelle double conduit à une solution où le facteur $r^n$ est multiplié par une expression affine en $n$ . La forme en somme de deux puissances distinctes correspond plutôt au cas de deux racines caractéristiques distinctes.

Answer

$$u_n=(\lambda n+\mu)r^n$$

Question 9

9. Quelle différence distingue une suite convergente d’une suite simplement bornée ?

Une suite bornée admet une limite unique, tandis qu’une suite convergente peut en avoir plusieurs.

Une suite convergente est bornée, tandis qu’une suite bornée peut ne pas converger.

Une suite convergente est monotone, tandis qu’une suite bornée peut varier sans limite.

Une suite bornée possède une limite finie, tandis qu’une suite convergente peut être non bornée.

Explication

Une suite convergente est nécessairement bornée, mais la réciproque n’est pas vraie. Une suite bornée peut, par exemple, osciller sans se rapprocher d’une limite, contrairement à l’affirmation selon laquelle toute suite bornée aurait une limite finie.

Answer

Une suite convergente est bornée, tandis qu’une suite bornée peut ne pas converger.

Question 10

10. Si une suite converge vers une limite finie non nulle, quelle conséquence peut-on en tirer pour la suite de ses inverses ?

Elle est définie à partir d’un certain rang et converge vers l’inverse de cette limite.

Elle est définie à partir d’un certain rang et converge vers zéro.

Elle est définie à partir d’un certain rang et diverge vers l’infini.

Elle converge vers la même limite que la suite initiale.

Explication

Une suite qui tend vers une limite non nulle finit par être non nulle, et ses inverses convergent vers l’inverse de cette limite. En revanche, la convergence vers zéro concerne notamment le produit d’une suite tendant vers zéro par une suite bornée, pas l’inverse de la suite initiale.

Answer

Elle est définie à partir d’un certain rang et converge vers l’inverse de cette limite.

Question 11

11. Deux suites convergent respectivement vers $-2$ et $5$ . Quelle limite obtient-on pour leur produit terme à terme ?

10

7

-10

3

Explication

La limite du produit de deux suites convergentes est le produit de leurs limites, soit $(-2)\times 5=-10$ . La somme des limites serait $3$ , mais elle correspond à la limite de la somme des suites.

QCM : Suites réelles et convergence (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une suite réelle $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$ . Quelle représentation mathématique décrit cette suite ?

2. Deux suites réelles sont définies sur les mêmes indices et ont les mêmes valeurs, mais dans un ordre différent. Quelle conclusion peut-on tirer sur leur égalité ?

3. Dans une population, les naissances annuelles représentent une proportion $a$ de l’effectif et les décès une proportion $b$ . Quelle relation décrit son évolution selon le modèle de Malthus discret ?

4. Un modèle de Verhulst discret décrit une population d’effectif $u_n$ , avec paramètres $\alpha$ , $\beta\geq 0$ et capacité $K=\frac{\alpha}{\beta}$ . Quelle relation d’évolution faut-il utiliser ?

5. Qu’est-ce qu’une suite stationnaire ?

6. Pour la suite définie par $u_n=-n^2+1$ , quelle différence entre deux termes consécutifs permet de justifier sa décroissance stricte ?

7. Quel est le rôle de la raison $r$ dans la variation d’une suite arithmétique ?

8. Lorsque l’équation caractéristique d’une récurrence linéaire d’ordre deux possède une racine réelle double $r$ , sous quelle forme s’écrivent les solutions ?

9. Quelle différence distingue une suite convergente d’une suite simplement bornée ?

10. Si une suite converge vers une limite finie non nulle, quelle conséquence peut-on en tirer pour la suite de ses inverses ?

11. Deux suites convergent respectivement vers $-2$ et $5$ . Quelle limite obtient-on pour leur produit terme à terme ?

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QCM : Suites réelles et convergence (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une suite réelle (un)(u_n)(un​) associe à chaque entier naturel nnn un réel unu_nun​. Quelle représentation mathématique décrit cette suite ?

2. Deux suites réelles sont définies sur les mêmes indices et ont les mêmes valeurs, mais dans un ordre différent. Quelle conclusion peut-on tirer sur leur égalité ?

3. Dans une population, les naissances annuelles représentent une proportion aaa de l’effectif et les décès une proportion bbb. Quelle relation décrit son évolution selon le modèle de Malthus discret ?

4. Un modèle de Verhulst discret décrit une population d’effectif unu_nun​, avec paramètres α\alphaα, β≥0\beta\geq 0β≥0 et capacité K=αβK=\frac{\alpha}{\beta}K=βα​. Quelle relation d’évolution faut-il utiliser ?

5. Qu’est-ce qu’une suite stationnaire ?

6. Pour la suite définie par un=−n2+1u_n=-n^2+1un​=−n2+1, quelle différence entre deux termes consécutifs permet de justifier sa décroissance stricte ?

7. Quel est le rôle de la raison rrr dans la variation d’une suite arithmétique ?

8. Lorsque l’équation caractéristique d’une récurrence linéaire d’ordre deux possède une racine réelle double rrr, sous quelle forme s’écrivent les solutions ?

9. Quelle différence distingue une suite convergente d’une suite simplement bornée ?

10. Si une suite converge vers une limite finie non nulle, quelle conséquence peut-on en tirer pour la suite de ses inverses ?

11. Deux suites convergent respectivement vers −2-2−2 et 555. Quelle limite obtient-on pour leur produit terme à terme ?

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1. Une suite réelle $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$ . Quelle représentation mathématique décrit cette suite ?

3. Dans une population, les naissances annuelles représentent une proportion $a$ de l’effectif et les décès une proportion $b$ . Quelle relation décrit son évolution selon le modèle de Malthus discret ?

4. Un modèle de Verhulst discret décrit une population d’effectif $u_n$ , avec paramètres $\alpha$ , $\beta\geq 0$ et capacité $K=\frac{\alpha}{\beta}$ . Quelle relation d’évolution faut-il utiliser ?

6. Pour la suite définie par $u_n=-n^2+1$ , quelle différence entre deux termes consécutifs permet de justifier sa décroissance stricte ?

7. Quel est le rôle de la raison $r$ dans la variation d’une suite arithmétique ?

8. Lorsque l’équation caractéristique d’une récurrence linéaire d’ordre deux possède une racine réelle double $r$ , sous quelle forme s’écrivent les solutions ?

11. Deux suites convergent respectivement vers $-2$ et $5$ . Quelle limite obtient-on pour leur produit terme à terme ?