Flashcards : Surfaces et plans tangents (24 cartes)

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1Question

Quels points constituent une surface $S$ dans $\mathbb{R}^3$ ?

Réponse

Les points $\left(x,y,z\right)$ de $\mathbb{R}^3$ .

2Question

Quelle condition impose $f$ pour définir une équation cartésienne de $S$ ?

Réponse

$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ est continûment différentiable.

3Question

Comment l’équation cartésienne $f(x,y,z)=0$ définit-elle $S$ ?

Réponse

$S=\{M=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid f(x,y,z)=0\}$ .

4Question

Quelle équation cartésienne définit le cône de sommet O, d’axe Oz et de demi-angle π/4 ?

Réponse

$x^2+y^2-z^2=0$

5Question

Qu’est-ce qu’une ligne de niveau de hauteur $c$ pour $z=f(x,y)$ ?

Réponse

L’ensemble des couples $(x,y)$ tels que $f(x,y)=c$ .

6Question

Comment s’écrit une surface ayant une équation paramétrique ?

Réponse

Comme l’ensemble des points $(f(u,v),g(u,v),h(u,v))$ pour $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ , avec $f$ , $g$ et $h$ continûment différentiables.

7Question

Quand un point M d’une surface est-il régulier, et quel plan définit-on alors ?

Réponse

M est régulier si les tangentes en M sont situées dans un même plan, qui est le plan tangent.

8Question

Quand une droite est-elle tangente en M à une surface ?

Réponse

Lorsqu’elle est tangente en M à une courbe tracée sur cette surface.

9Question

Quelle équation caractérise le plan tangent en M₀ lorsque sa normale a pour vecteur directeur (α, β, γ) ?

Réponse

$\alpha(x-x_0)+\beta(y-y_0)+\gamma(z-z_0)=0$

10Question

Quel vecteur est normal à la surface implicite $f(x,y,z)=0$ en $M_0$ ?

Réponse

$\nabla f(M_0)$

11Question

Quel vecteur est normal à la surface graphe $z=f(x,y)$ en $M_0$ ?

Réponse

$(\partial f/\partial x(x_0,y_0),\partial f/\partial y(x_0,y_0),-1)$

12Question

Quelle condition sur $t_u$ et $t_v$ garantit l’existence du plan tangent à une surface paramétrée ?

Réponse

Ils ne sont pas colinéaires.

13Question

Quel vecteur normal obtient-on pour une surface paramétrée lorsque $t_u$ et $t_v$ ne sont pas colinéaires ?

Réponse

$t_u\wedge t_v$

14Question

Quand une équation cartésienne est-elle résoluble en $z$ ?

Réponse

Lorsque $z=\varphi(x,y)$ , avec $\varphi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ .

15Question

Quel repère faut-il utiliser pour les notions métriques ?

Réponse

Un repère orthonormé.

16Question

Quelle égalité impose-t-on pour obtenir l’équation du cylindre d’axe (AB) passant par C ?

Réponse

$\|\overrightarrow{AM}\wedge\overrightarrow{AB}\|^2=\|\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AB}\|^2$

17Question

Qu’est-ce qu’une ligne de coordonnées sur une surface paramétrée ?

Réponse

Une courbe tracée sur la surface en fixant un paramètre et en faisant varier l’autre.

18Question

Comment obtient-on une équation cartésienne à partir d’une équation paramétrique ?

Réponse

En éliminant les paramètres $u$ et $v$ entre $x$ , $y$ et $z$ .

19Question

Quelle équation cartésienne correspond à la paramétrisation $(a\cos(v)\cos(u),b\cos(v)\sin(u),c\sin(v))$ ?

Réponse

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ .

20Question

Quelle figure décrit la paramétrisation $(a\cos(v)\cos(u),b\cos(v)\sin(u),c\sin(v))$ ?

Réponse

Un ellipsoïde.

21Question

Combien de paramétrisations une même surface peut-elle admettre ?

Réponse

Plusieurs paramétrisations.

22Question

Qu’est-ce que la normale à une surface en M ?

Réponse

La perpendiculaire en M au plan tangent en M.

23Question

Comment s’écrit le gradient d’une fonction différentiable de ℝⁿ vers ℝ ?

Réponse

$\nabla f=(\partial f/\partial x_1,\ldots,\partial f/\partial x_n)^T$

24Question

Quelle équation vérifie le cylindre de révolution Γ passant par O ?

Réponse

$\frac{(x-2y+3z+1)^2}{14}+\frac{(x+2y+z+1)^2}{6}=\frac{1}{14}+\frac{1}{6}.$

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 11 questions sur Surfaces et plans tangents.

1. Dans l’espace usuel, quel type d’ensemble est une surface S ?

2. Une fonction continûment différentiable f de ℝ³ vers ℝ définit une surface S par son équation cartésienne lorsque quelle condition est satisfaite ?

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