QCM : Surfaces et plans tangents (11 questions)

Question 1

1. Dans l’espace usuel, quel type d’ensemble est une surface S ?

Une fonction définie sur ℝ³

Un ensemble de points (x,y) de ℝ²

Une courbe formée de points de ℝ³

Un ensemble de points (x,y,z) de ℝ³

Explication

Une surface S est définie comme un ensemble de points de ℝ³, chacun repéré par trois coordonnées. La réponse « points de ℝ² » ramène l’objet au plan, tandis qu’une courbe est un autre type d’ensemble.

Answer

Un ensemble de points (x,y,z) de ℝ³

Question 2

2. Une fonction continûment différentiable f de ℝ³ vers ℝ définit une surface S par son équation cartésienne lorsque quelle condition est satisfaite ?

S est l’ensemble des points où f(x,y,z)=1

S est l’ensemble des points où f n’est pas différentiable

S est l’ensemble des points où f(x,y,z)=0

S est l’ensemble des images de f dans ℝ³

Explication

L’équation cartésienne f(x,y,z)=0 décrit la surface comme l’ensemble des points de ℝ³ où f s’annule. Le niveau un change la condition définissant S, et les autres réponses confondent l’ensemble de niveau avec l’image ou une propriété de différentiabilité.

Answer

S est l’ensemble des points où f(x,y,z)=0

Question 3

3. Un cône de révolution a pour sommet O, pour axe Oz et pour demi-angle au sommet π/4. Quelle équation cartésienne décrit ce cône ?

x²+y²−z²=0

x²−z²=0

x²+y²+z²=0

x²+y²=1

Explication

Pour ce cône, les coordonnées vérifient x²+y²−z²=0. L’équation avec un signe positif devant z² change la surface, celle sans y² décrit une condition différente, et x²+y²=1 correspond à un cylindre circulaire.

Answer

x²+y²−z²=0

Question 4

4. Pour établir l’équation du cylindre de révolution d’axe la droite passant par A et B et passant par un point C, quelle égalité doit-on imposer à un point M du cylindre ?

AM∧AB=AC∧AB

||AM||²=||AC||²

||AM·AB||²=||AC·AB||²

||AM∧AB||²=||AC∧AB||²

Explication

Le produit vectoriel avec AB donne une mesure proportionnelle à la distance à l’axe AB ; l’égalité des normes au carré impose donc que M et C soient à la même distance de cet axe. L’égalité des vecteurs est plus forte, le produit scalaire ne mesure pas cette distance, et ||AM|| compare les distances à A.

Answer

||AM∧AB||²=||AC∧AB||²

Question 5

5. Pour la surface résoluble $z=f(x,y)$ , quelle condition caractérise les points de sa ligne de niveau de hauteur $c=4$ ?

Les couples

(x,y)

tels que

x=4

Les couples

(x,y)

tels que

f(x,y)\leq 4

Les couples

(x,y)

tels que

y=4

Les couples

(x,y)

tels que

f(x,y)=4

Explication

Une ligne de niveau de hauteur $c$ regroupe les points de la surface où $z=c$ , donc les couples vérifiant $f(x,y)=c$ . Fixer $x=4$ ou $y=4$ décrit une coupe liée à une coordonnée, tandis que $f(x,y)\leq 4$ définit une région plutôt qu’un niveau.

Answer

Les couples $$(x,y)$$ tels que $$f(x,y)=4$$

Question 6

6. Quelle forme décrit une surface paramétrée par deux paramètres réels lorsque ses fonctions de coordonnées sont continûment différentiables ?

L’ensemble des points

(x,y,z)

vérifiant

F(x,y,z)=0

L’ensemble des points

(f(u,v),g(u,v),h(u,v))

pour

(u,v)\in\mathbb{R}^2

L’ensemble des points

(f(u,v),g(u,v),h(u,v))

avec des fonctions non différentiables

L’ensemble des points

(f(u),g(u),h(u))

pour

u\in\mathbb{R}

Explication

Une équation paramétrique de surface associe à chaque couple de paramètres réels un point de coordonnées $f(u,v),g(u,v),h(u,v)$ , les fonctions étant continûment différentiables. L’équation implicite relève d’une autre description, et un seul paramètre ne donne pas la forme paramétrique de surface définie ici.

Answer

L’ensemble des points $$(f(u,v),g(u,v),h(u,v))$$ pour $$(u,v)\in\mathbb{R}^2$$

Question 7

7. Sur une surface, les tangentes en un point $M$ à toutes les courbes tracées sur la surface se trouvent dans un même plan. Comment caractériser $M$ et ce plan ?

M

est singulier et ce plan est son plan tangent

M

est régulier et ce plan est sa normale

M

est régulier et ce plan est son plan tangent

M

est singulier et ce plan est sa normale

Explication

Lorsque les tangentes en $M$ aux courbes de la surface sont situées dans un même plan, $M$ est régulier et ce plan est le plan tangent. Une normale est une droite perpendiculaire à ce plan, et non le plan lui-même.

Answer

$$M$$ est régulier et ce plan est son plan tangent

Question 8

8. Au point $M_0=(2,-1,3)$ , une normale au plan tangent a pour vecteur directeur $(1,2,-1)$ . Quelle est l’équation du plan tangent ?

(x-2)+2(y+1)+(z-3)=0

(x-2)+2(y+1)-(z-3)=0

2(x-2)+(y+1)-(z-3)=0

(x+2)+2(y-1)-(z+3)=0

Explication

Le plan tangent vérifie $\alpha(x-x_0)+\beta(y-y_0)+\gamma(z-z_0)=0$ . En remplaçant par le vecteur normal $(1,2,-1)$ et le point $(2,-1,3)$ , on obtient $(x-2)+2(y+1)-(z-3)=0$ ; le signe du terme en $z$ est déterminé par la troisième composante du vecteur normal.

Answer

$$(x-2)+2(y+1)-(z-3)=0$$

Question 9

9. La surface est définie implicitement par $F(x,y,z)=0$ , où $F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-9$ . Quel vecteur peut-on choisir comme normale au point $M_0=(1,1,2)$ ?

(1,1,2)

(-2,-4,-4)

(2,4,4)

(2,4,0)

Explication

Pour une surface définie par $F=0$ , le gradient de $F$ au point considéré est un vecteur normal; ici $\nabla F=(2x,4y,2z)$ , donc $\nabla F(M_0)=(2,4,4)$ . Le vecteur $(2,4,0)$ oublie la dérivée en z, $(1,1,2)$ reprend les coordonnées du point, et $(-2,-4,-4)$ correspond au gradient de la fonction opposée.

Answer

$$(2,4,4)$$

Question 10

10. Une surface est le graphe de $z=f(x,y)=x^2+3y$ . Quel vecteur normal convient au point correspondant à $(x_0,y_0)=(2,1)$ ?

(4,3,-1)

(2,1,-1)

(4,3,1)

(4,0,-1)

Explication

Pour un graphe $z=f(x,y)$ , une normale est $\left(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1\right)$ . Ici $f_x=2x$ et $f_y=3$ , d’où $(4,3,-1)$ ; $(4,3,1)$ inverse le signe prescrit de la troisième composante, tandis que les autres choix omettent une dérivée correcte ou substituent le vecteur position.

Answer

$$(4,3,-1)$$

Question 11

11. Une surface paramétrée possède au point considéré les vecteurs tangents $\mathbf t_u=(1,2,0)$ et $\mathbf t_v=(0,1,3)$ . Quelle méthode donne un vecteur normal et permet de conclure que le plan tangent existe ?

Prendre

\mathbf t_u

, car toute tangente est aussi une normale

Calculer

\mathbf t_u\wedge\mathbf t_v

, car les tangentes ne sont pas colinéaires

Calculer

\mathbf t_u+\mathbf t_v

, car la somme est perpendiculaire aux deux tangentes

Écarter le plan tangent, car deux vecteurs tangents sont présents

Explication

Les deux vecteurs tangents ne sont pas colinéaires, donc le plan tangent existe; leur produit vectoriel $\mathbf t_u\wedge\mathbf t_v$ fournit une normale. Prendre une tangente ou leur somme ne construit pas en général un vecteur perpendiculaire aux deux, et la présence de deux tangentes non colinéaires ne supprime pas le plan tangent.

Answer

Calculer $$\mathbf t_u\wedge\mathbf t_v$$, car les tangentes ne sont pas colinéaires

QCM : Surfaces et plans tangents (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans l’espace usuel, quel type d’ensemble est une surface S ?

2. Une fonction continûment différentiable f de ℝ³ vers ℝ définit une surface S par son équation cartésienne lorsque quelle condition est satisfaite ?

3. Un cône de révolution a pour sommet O, pour axe Oz et pour demi-angle au sommet π/4. Quelle équation cartésienne décrit ce cône ?

4. Pour établir l’équation du cylindre de révolution d’axe la droite passant par A et B et passant par un point C, quelle égalité doit-on imposer à un point M du cylindre ?

5. Pour la surface résoluble $z=f(x,y)$ , quelle condition caractérise les points de sa ligne de niveau de hauteur $c=4$ ?

6. Quelle forme décrit une surface paramétrée par deux paramètres réels lorsque ses fonctions de coordonnées sont continûment différentiables ?

7. Sur une surface, les tangentes en un point $M$ à toutes les courbes tracées sur la surface se trouvent dans un même plan. Comment caractériser $M$ et ce plan ?

8. Au point $M_0=(2,-1,3)$ , une normale au plan tangent a pour vecteur directeur $(1,2,-1)$ . Quelle est l’équation du plan tangent ?

9. La surface est définie implicitement par $F(x,y,z)=0$ , où $F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-9$ . Quel vecteur peut-on choisir comme normale au point $M_0=(1,1,2)$ ?

10. Une surface est le graphe de $z=f(x,y)=x^2+3y$ . Quel vecteur normal convient au point correspondant à $(x_0,y_0)=(2,1)$ ?

11. Une surface paramétrée possède au point considéré les vecteurs tangents $\mathbf t_u=(1,2,0)$ et $\mathbf t_v=(0,1,3)$ . Quelle méthode donne un vecteur normal et permet de conclure que le plan tangent existe ?

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QCM : Surfaces et plans tangents (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans l’espace usuel, quel type d’ensemble est une surface S ?

2. Une fonction continûment différentiable f de ℝ³ vers ℝ définit une surface S par son équation cartésienne lorsque quelle condition est satisfaite ?

3. Un cône de révolution a pour sommet O, pour axe Oz et pour demi-angle au sommet π/4. Quelle équation cartésienne décrit ce cône ?

4. Pour établir l’équation du cylindre de révolution d’axe la droite passant par A et B et passant par un point C, quelle égalité doit-on imposer à un point M du cylindre ?

5. Pour la surface résoluble z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y), quelle condition caractérise les points de sa ligne de niveau de hauteur c=4c=4c=4 ?

6. Quelle forme décrit une surface paramétrée par deux paramètres réels lorsque ses fonctions de coordonnées sont continûment différentiables ?

7. Sur une surface, les tangentes en un point MMM à toutes les courbes tracées sur la surface se trouvent dans un même plan. Comment caractériser MMM et ce plan ?

8. Au point M0=(2,−1,3)M_0=(2,-1,3)M0​=(2,−1,3), une normale au plan tangent a pour vecteur directeur (1,2,−1)(1,2,-1)(1,2,−1). Quelle est l’équation du plan tangent ?

9. La surface est définie implicitement par F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0, où F(x,y,z)=x2+2y2+z2−9F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-9F(x,y,z)=x2+2y2+z2−9. Quel vecteur peut-on choisir comme normale au point M0=(1,1,2)M_0=(1,1,2)M0​=(1,1,2) ?

10. Une surface est le graphe de z=f(x,y)=x2+3yz=f(x,y)=x^2+3yz=f(x,y)=x2+3y. Quel vecteur normal convient au point correspondant à (x0,y0)=(2,1)(x_0,y_0)=(2,1)(x0​,y0​)=(2,1) ?

11. Une surface paramétrée possède au point considéré les vecteurs tangents tu=(1,2,0)\mathbf t_u=(1,2,0)tu​=(1,2,0) et tv=(0,1,3)\mathbf t_v=(0,1,3)tv​=(0,1,3). Quelle méthode donne un vecteur normal et permet de conclure que le plan tangent existe ?

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5. Pour la surface résoluble $z=f(x,y)$ , quelle condition caractérise les points de sa ligne de niveau de hauteur $c=4$ ?

7. Sur une surface, les tangentes en un point $M$ à toutes les courbes tracées sur la surface se trouvent dans un même plan. Comment caractériser $M$ et ce plan ?

8. Au point $M_0=(2,-1,3)$ , une normale au plan tangent a pour vecteur directeur $(1,2,-1)$ . Quelle est l’équation du plan tangent ?

9. La surface est définie implicitement par $F(x,y,z)=0$ , où $F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-9$ . Quel vecteur peut-on choisir comme normale au point $M_0=(1,1,2)$ ?

10. Une surface est le graphe de $z=f(x,y)=x^2+3y$ . Quel vecteur normal convient au point correspondant à $(x_0,y_0)=(2,1)$ ?

11. Une surface paramétrée possède au point considéré les vecteurs tangents $\mathbf t_u=(1,2,0)$ et $\mathbf t_v=(0,1,3)$ . Quelle méthode donne un vecteur normal et permet de conclure que le plan tangent existe ?