Fiche de révision : Surfaces et plans tangents

📋 Plan du Cours

1. Équations cartésiennes des surfaces
2. Cônes et cylindres de révolution
3. Niveaux et paramétrisations
4. Tangence et plan tangent
5. Normales aux surfaces

📖 1. Équations cartésiennes des surfaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Surface : Ensemble de points (x,y,z) de ℝ³.
• Équation cartésienne : Une surface S a pour équation cartésienne f(x,y,z)=0 lorsque f:ℝ³→ℝ est continûment différentiable et que S={M=(x,y,z)∈ℝ³ | f(x,y,z)=0}.
• Équation résoluble : Une équation cartésienne est résoluble lorsque la coordonnée z peut être exprimée sous la forme z=φ(x,y), avec φ:ℝ²→ℝ.

📝 Points essentiels

• Le repère utilisé pour les notions métriques doit être orthonormé.

📖 2. Cônes et cylindres de révolution

★ À maîtriser

• Le cône de révolution de sommet O, d’axe Oz et de demi-angle au sommet π/4 a pour équation cartésienne x²+y²−z²=0.

Compléments

• Pour obtenir l’équation cartésienne d’un cylindre de révolution d’axe la droite (AB) passant par C, on impose à M l’égalité ||AM∧AB||²=||AC∧AB||².

• Pour le cylindre de révolution Γ passant par O et d’axe l’intersection des plans x−2y+3z+1=0 et x+2y+z+1=0, les plans étant perpendiculaires, son équation vérifie (x−2y+3z+1)²/14+(x+2y+z+1)²/6=1/14+1/6.

📖 3. Niveaux et paramétrisations

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de niveau : Pour une surface résoluble z=f(x,y), l’ensemble des points de la surface tels que z=c, soit l’ensemble des couples (x,y) vérifiant f(x,y)=c.
• Équation paramétrique : Une surface a une équation paramétrique lorsqu’elle est l’ensemble des points (f(u,v),g(u,v),h(u,v)) pour (u,v)∈ℝ², où f, g et h sont continûment différentiables.
• Ligne de coordonnées : Sur une surface paramétrée, fixer v=c et faire varier u, ou fixer u et faire varier v, décrit une courbe tracée sur la surface appelée ligne de coordonnées.

📝 Points essentiels

• On obtient une équation cartésienne à partir d’une équation paramétrique en éliminant les paramètres u et v entre x, y et z.

• La paramétrisation (a cos(v)cos(u), b cos(v)sin(u), c sin(v)) décrit un ellipsoïde d’équation x²/a²+y²/b²+z²/c²=1.

• Une même surface peut admettre plusieurs paramétrisations.

📖 4. Tangence et plan tangent

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan tangent : Une droite est tangente en M à une surface si elle est tangente en M à une courbe tracée sur cette surface; si les tangentes en M sont situées dans un même plan, M est régulier et ce plan est le plan tangent.
• Normale : La perpendiculaire en M au plan tangent en M.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si une normale au plan tangent en M₀=(x₀,y₀,z₀) a pour vecteur directeur (α,β,γ), le plan tangent a pour équation $\alpha(x-x_0)+\beta(y-y_0)+\gamma(z-z_0)=0$.

📖 5. Normales aux surfaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Pour une fonction différentiable f:ℝⁿ→ℝ, le gradient est le vecteur de ses dérivées partielles par rapport aux coordonnées, soit $\nabla f=(\partial f/\partial x_1,\ldots,\partial f/\partial x_n)^T$.

📝 Points essentiels

• Pour une surface définie par f(x,y,z)=0, un vecteur normal en M₀ est ∇f(M₀).

• Pour une surface z=f(x,y), un vecteur normal en M₀ est (∂f/∂x(x₀,y₀), ∂f/∂y(x₀,y₀), −1).

• Pour une surface paramétrée, on calcule les vecteurs tangents tᵤ=(∂f/∂u,∂g/∂u,∂h/∂u) et tᵥ=(∂f/∂v,∂g/∂v,∂h/∂v) au point considéré; s’ils ne sont pas colinéaires, le plan tangent existe et un vecteur normal est tᵤ∧tᵥ.