Fiche de révision : Fonctions de plusieurs variables

📋 Plan du Cours

1. Domaines et fonctions multivariées
2. Dérivées partielles et gradient
3. Différentiation et matrice jacobienne
4. Dérivées secondes et Hessienne
5. Développements de Taylor

📖 1. Domaines et fonctions multivariées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de plusieurs variables : Application d’un domaine D_f inclus dans Rⁿ vers Rᵐ, dont les m fonctions composantes sont des fonctions réelles définies sur D_f.
• Pavé ouvert : Ensemble des points (x₁,…,xₙ) tels que chaque coordonnée xᵢ appartient à un intervalle ouvert ]αᵢ, βᵢ[, où les bornes peuvent être infinies.
• Boule ouverte : Ensemble des points M=(x₁,…,xₙ) tels que $\sum_{i=1}^{n}(x_i-c_i)^2<r^2$.

📝 Points essentiels

• Le repère canonique de R³ utilisé dans le cours est orthonormé, condition nécessaire pour employer les notions métriques qui caractérisent les surfaces.

📖 2. Dérivées partielles et gradient

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : La dérivée partielle de f par rapport à xⱼ en a est la limite du quotient de variation lorsque xⱼ varie de h et que toutes les autres coordonnées restent fixes : $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a_1,\ldots,a_j+h,\ldots,a_n)-f(a)}{h}$.
• Gradient : Le gradient de f en a est le vecteur colonne des dérivées partielles de f en a, lorsque celles-ci existent et sont continues : $\nabla f(a)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)^T$.

📝 Points essentiels

• Pour une surface z=f(x,y), les dérivées partielles en (x₀,y₀) donnent les pentes des tangentes aux courbes obtenues en coupant la surface par les plans y=y₀ et x=x₀, respectivement.

• Pour une surface z=f(x,y), le gradient en un point permet de définir l’équation cartésienne du plan tangent en ce point.

📌 L’existence de dérivées partielles continues en un point entraîne la continuité de la fonction en ce point.

💡 Astuce mémo

Sur la surface z=f(x,y), imaginez deux coupes perpendiculaires : leurs pentes sont les dérivées partielles.

📖 3. Différentiation et matrice jacobienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice jacobienne : La matrice jacobienne de f:D_f⊂Rⁿ→Rᵐ de classe C¹ en a est la matrice dont l’entrée de la ligne i et de la colonne j est $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$.

★ À maîtriser

• Pour f(u(t),v(t),w(t)), la dérivée par rapport à t est la somme des dérivées partielles de f par rapport à u, v et w, chacune multipliée par la dérivée correspondante : $\frac{d f}{dt}=\frac{\partial f}{\partial u}u'(t)+\frac{\partial f}{\partial v}v'(t)+\frac{\partial f}{\partial w}w'(t)$.

📐 Formule - Pour une application vectorielle différentiable, le développement à l’ordre 1 est $f(a+h)=f(a)+J_f(a)h+o(\|h\|)$.

Compléments

• Pour f(x,y)=(x+y,xy²), la jacobienne vaut $J_f(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\y^2&2xy\end{pmatrix}$ et, en (2,1), l’approximation à l’ordre 1 est (3+h₁+h₂, 2+h₁+4h₂).

📖 4. Dérivées secondes et Hessienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice hessienne : Matrice carrée dont les entrées sont les dérivées partielles secondes de f en a.
• Dérivée seconde : Dérivée partielle d’une fonction obtenue en dérivant f une première fois, par rapport à une variable donnée.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction de classe C², les dérivées partielles mixtes sont égales : $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$. - Schwartz

Compléments

• La matrice hessienne d’une fonction de classe C² est symétrique.

📖 5. Développements de Taylor

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour f∈C²(Rⁿ,R), le développement de Taylor au voisinage de a est $f(a+h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h+\frac12 h^T H_f(a)h+o(\|h\|^2)$.

📐 Formule - L’approximation de f à l’ordre 1 en a est $f(a+h)\approx f(a)+\nabla f(a)\cdot h$.

Compléments

• Plus l’ordre de l’approximation est élevé, plus l’approximation est précise.

• Pour f(x)=2x−x²+x³ au voisinage de 2, les approximations à l’ordre 1 et à l’ordre 2 sont respectivement 8+10h et 8+10h+5h².

• Pour f(x₁,x₂)=x₁²x₂³ au voisinage de (2,1), l’approximation à l’ordre 1 est 4+4h₁+12h₂.

💡 Astuce mémo

Valeur au point → terme linéaire du gradient → terme quadratique de la Hessienne.