Fonctions de plusieurs variables

Extrait de la fiche de révision

Plan du Cours

  1. Domaines et fonctions multivariées
  2. Dérivées partielles et gradient
  3. Différentiation et matrice jacobienne
  4. Dérivées secondes et Hessienne
  5. Développements de Taylor

1. Domaines et fonctions multivariées

Notions clés & Définitions

  • Fonction de plusieurs variables : Application d’un domaine D_f inclus dans Rⁿ vers Rᵐ, dont les m fonctions composantes sont des fonctions réelles définies sur D_f.
  • Pavé ouvert : Ensemble des points (x₁,…,xₙ) tels que chaque coordonnée xᵢ appartient à un intervalle ouvert ]αᵢ, βᵢ[, où les bornes peuvent être infinies.
  • Boule ouverte : Ensemble des points M=(x₁,…,xₙ) tels que ∑i=1n(xi−ci)2<r2\sum_{i=1}^{n}(x_i-c_i)^2<r^2.

Points essentiels

  • Le repère canonique de R³ utilisé dans le cours est orthonormé, condition nécessaire pour employer les notions métriques qui caractérisent les surfaces.

2. Dérivées partielles et gradient

Notions clés & Définitions

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Aperçu du QCM

1. Une fonction associe à chaque point de son domaine un vecteur de R3\mathbb{R}^3. Comment la décrire en termes de fonctions réelles ?

2. Dans R2\mathbb{R}^2, un ensemble est défini par −2<x<4-2<x<4 et 1<y<71<y<7. Quelle description correspond à cet ensemble ?

3. Pour calculer la dérivée partielle d’une fonction f(x,y,z)f(x,y,z) par rapport à yy au point (a,b,c)(a,b,c), quelle variation faut-il considérer dans le quotient de variation ?

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Aperçu des flashcards

Comment définit-on la dérivée partielle de f par rapport à xⱼ en a ?

C’est la limite du quotient de variation lorsque seule la coordonnée xⱼ varie.

Quelle propriété possède le repère canonique de ℝ³ utilisé dans le cours ?

Il est orthonormé.

Comment caractérise-t-on les coordonnées d’un point d’un pavé ouvert de ℝⁿ ?

Chaque coordonnée appartient à un intervalle ouvert, éventuellement non borné.

Que permet le gradient d’une surface z=f(x,y) en un point ?

Il permet de définir l’équation cartésienne du plan tangent en ce point.

Comment dérive-t-on f(u(t),v(t),w(t)) par rapport à t ?

On additionne les dérivées partielles de f, chacune multipliée par la dérivée de sa variable correspondante.

Quel est le développement à l’ordre 1 d’une application vectorielle différentiable en a ?

f(a+h)=f(a)+Jf(a)h+o(∥h∥).f(a+h)=f(a)+J_f(a)h+o(\|h\|).

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Questions fréquentes

Que contient la fiche de révision sur Fonctions de plusieurs variables ?

La fiche de révision couvre les notions essentielles de Fonctions de plusieurs variables. Elle est structurée par thématiques pour faciliter l'apprentissage et la mémorisation, avec des définitions clés, des explications et des synthèses.

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Combien de questions contient le QCM sur Fonctions de plusieurs variables ?

Le QCM contient 9 questions à choix multiples avec corrections détaillées et explications pour chaque réponse. Idéal pour tester tes connaissances et identifier tes lacunes.

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Comment réviser Fonctions de plusieurs variables avec les flashcards ?

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