QCM : Fonctions de plusieurs variables (9 questions)

Question 1

1. Une fonction associe à chaque point de son domaine un vecteur de $\mathbb{R}^3$ . Comment la décrire en termes de fonctions réelles ?

Comme une application d’un domaine de

\mathbb{R}^n

vers

\mathbb{R}^3

, dont les trois composantes sont réelles

Comme une application de tout

\mathbb{R}^n

vers

\mathbb{R}^3

, dont les trois composantes sont réelles

Comme une application de

\mathbb{R}^3

vers un domaine de

\mathbb{R}^n

, dont les composantes sont réelles

Comme une application d’un domaine de

\mathbb{R}^n

vers

\mathbb{R}^3

, dont chaque composante est à valeurs dans

\mathbb{R}^3

Explication

Une fonction de $n$ variables a pour domaine un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ et peut prendre ses valeurs dans $\mathbb{R}^m$ ; ses composantes sont des fonctions réelles définies sur ce domaine. Inverser domaine et image confond les dimensions, des composantes vectorielles ne sont pas réelles, et le domaine n’a pas à être tout $\mathbb{R}^n$ .

Answer

Comme une application d’un domaine de $$\mathbb{R}^n$$ vers $$\mathbb{R}^3$$, dont les trois composantes sont réelles

Question 2

2. Dans $\mathbb{R}^2$ , un ensemble est défini par $-2<x<4$ et $1<y<7$ . Quelle description correspond à cet ensemble ?

Une boule ouverte de centre

(1,4)

et de rayon

3

Un pavé fermé, produit des intervalles

[-2,4]

et

[1,7]

Un pavé ouvert où les deux coordonnées appartiennent à

]-2,7[

Un pavé ouvert, produit des intervalles

]-2,4[

et

]1,7[

Explication

Un pavé ouvert est défini en imposant à chaque coordonnée d’appartenir à son propre intervalle ouvert, ici $]-2,4[$ et $]1,7[$ . Les bornes incluses décrivent un pavé fermé, la boule impose une condition de distance et l’intervalle commun ne respecte pas les bornes données.

Answer

Un pavé ouvert, produit des intervalles $$]-2,4[$$ et $$]1,7[$$

Question 3

3. Pour calculer la dérivée partielle d’une fonction $f(x,y,z)$ par rapport à $y$ au point $(a,b,c)$ , quelle variation faut-il considérer dans le quotient de variation ?

Remplacer

a

par

a+h

et garder

b

et

c

fixes

Remplacer les trois coordonnées par

a+h,b+h,c+h

Remplacer

b

par

b+h

et garder

a

et

c

fixes

Remplacer

c

par

c+h

et garder

a

et

b

fixes

Explication

La dérivée partielle par rapport à $y$ mesure la variation lorsque seule la coordonnée $y$ change, les autres restant fixes. Faire varier les trois coordonnées ou modifier $x$ ou $z$ correspond à d’autres variations.

Answer

Remplacer $$b$$ par $$b+h$$ et garder $$a$$ et $$c$$ fixes

Question 4

4. Une fonction de trois variables possède en un point les dérivées partielles $2$ , $-1$ et $4$ par rapport à $x$ , $y$ et $z$ . Quel est son gradient en ce point ?

Le vecteur colonne

\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}

Le vecteur colonne

\begin{pmatrix}5\\5\\5\end{pmatrix}

Le vecteur ligne

\begin{pmatrix}2&-1&4\end{pmatrix}

Le vecteur colonne

\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}

Explication

Le gradient est le vecteur colonne formé des dérivées partielles dans l’ordre des variables, donc $\nabla f=(2,-1,4)^T$ . Inverser l’ordre change les coordonnées, la somme ne donne pas le gradient et la définition le présente comme un vecteur colonne.

Answer

Le vecteur colonne $$\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}$$

Question 5

5. Pour une application différentiable $f:D_f\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ , que représente la matrice jacobienne en un point $a$ ?

La matrice des dérivées partielles secondes, avec une composante par ligne et une variable par colonne

La matrice des dérivées partielles des variables, avec une variable par ligne et une composante par colonne

La matrice des dérivées partielles des fonctions composantes, avec une composante par ligne et une variable par colonne

Le vecteur des valeurs des fonctions composantes, disposées dans une seule colonne

Explication

La jacobienne rassemble les dérivées partielles de chaque fonction composante par rapport à chaque variable : l’entrée de ligne $i$ et de colonne $j$ est $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$ . La matrice des dérivées secondes correspond plutôt à la Hessienne d’une fonction scalaire.

Answer

La matrice des dérivées partielles des fonctions composantes, avec une composante par ligne et une variable par colonne

Question 6

6. Quel mathématicien est associé au résultat selon lequel les dérivées partielles mixtes d’une fonction de classe $C^2$ sont égales ?

Hermann Schwarz

Joseph-Louis Lagrange

Augustin-Louis Cauchy

Carl Friedrich Gauss

Explication

Le théorème de Schwarz affirme que les dérivées partielles mixtes sont égales pour une fonction de classe $C^2$ . Lagrange est associé à d’autres résultats du calcul, mais pas à cette attribution dans le contenu présenté.

Answer

Hermann Schwarz

Question 7

7. Quel rôle joue le terme quadratique impliquant la matrice hessienne dans le développement de Taylor d’une fonction de classe $C^2$ au voisinage d’un point ?

Il mesure l’erreur de l’approximation linéaire sans dépendre du déplacement.

Il remplace la valeur de la fonction au point lorsque le gradient s’annule.

Il affine l’approximation en tenant compte des variations de courbure autour du point.

Il donne la valeur exacte de la fonction pour tout déplacement depuis le point.

Explication

Le terme $\frac12 h^T H_f(a)h$ apporte une correction quadratique qui améliore l’approximation en intégrant les dérivées secondes. L’erreur de l’approximation linéaire dépend du déplacement et n’est pas, en général, donnée par ce terme seul.

Answer

Il affine l’approximation en tenant compte des variations de courbure autour du point.

Question 8

8. En quoi une boule ouverte se distingue-t-elle d’un pavé ouvert dans $\mathbb{R}^n$ ?

Elle regroupe les points dont la distance au centre est inférieure au rayon, tandis que le pavé impose à chaque coordonnée d’appartenir à un intervalle ouvert.

Elle désigne les points situés à distance exactement égale au rayon d’un centre, tandis que le pavé repose sur des intervalles ouverts.

Elle regroupe les points dont chaque coordonnée est à une distance inférieure au rayon, tandis que le pavé impose une distance totale au centre.

Elle est définie par des intervalles fermés pour chaque coordonnée, tandis que le pavé est défini par une inégalité de distance au centre.

Explication

Une boule ouverte est caractérisée par une distance au centre strictement inférieure au rayon, alors qu’un pavé ouvert est défini coordonnée par coordonnée au moyen d’intervalles ouverts. L’option évoquant une contrainte de distance sur chaque coordonnée confond la définition de la boule avec des bornes individuelles.

Answer

Elle regroupe les points dont la distance au centre est inférieure au rayon, tandis que le pavé impose à chaque coordonnée d’appartenir à un intervalle ouvert.

Question 9

9. Si les dérivées partielles d’une fonction existent et sont continues en un point, quelle conséquence cela entraîne-t-il pour la fonction en ce point ?

La fonction est nécessairement différentiable sur tout son domaine.

La fonction admet un maximum local en ce point.

Le gradient est nécessairement nul en ce point.

La fonction est continue en ce point.

Explication

La continuité des dérivées partielles en un point entraîne la continuité de la fonction en ce point. Elle n’implique pas que le gradient soit nul, contrairement à une confusion possible avec les conditions d’extremum.

Answer

La fonction est continue en ce point.

QCM : Fonctions de plusieurs variables (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction associe à chaque point de son domaine un vecteur de $\mathbb{R}^3$ . Comment la décrire en termes de fonctions réelles ?

2. Dans $\mathbb{R}^2$ , un ensemble est défini par $-2<x<4$ et $1<y<7$ . Quelle description correspond à cet ensemble ?

3. Pour calculer la dérivée partielle d’une fonction $f(x,y,z)$ par rapport à $y$ au point $(a,b,c)$ , quelle variation faut-il considérer dans le quotient de variation ?

4. Une fonction de trois variables possède en un point les dérivées partielles $2$ , $-1$ et $4$ par rapport à $x$ , $y$ et $z$ . Quel est son gradient en ce point ?

5. Pour une application différentiable $f:D_f\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ , que représente la matrice jacobienne en un point $a$ ?

6. Quel mathématicien est associé au résultat selon lequel les dérivées partielles mixtes d’une fonction de classe $C^2$ sont égales ?

7. Quel rôle joue le terme quadratique impliquant la matrice hessienne dans le développement de Taylor d’une fonction de classe $C^2$ au voisinage d’un point ?

8. En quoi une boule ouverte se distingue-t-elle d’un pavé ouvert dans $\mathbb{R}^n$ ?

9. Si les dérivées partielles d’une fonction existent et sont continues en un point, quelle conséquence cela entraîne-t-il pour la fonction en ce point ?

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QCM : Fonctions de plusieurs variables (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction associe à chaque point de son domaine un vecteur de R3\mathbb{R}^3R3. Comment la décrire en termes de fonctions réelles ?

2. Dans R2\mathbb{R}^2R2, un ensemble est défini par −2<x<4-2<x<4−2<x<4 et 1<y<71<y<71<y<7. Quelle description correspond à cet ensemble ?

3. Pour calculer la dérivée partielle d’une fonction f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) par rapport à yyy au point (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c), quelle variation faut-il considérer dans le quotient de variation ?

4. Une fonction de trois variables possède en un point les dérivées partielles 222, −1-1−1 et 444 par rapport à xxx, yyy et zzz. Quel est son gradient en ce point ?

5. Pour une application différentiable f:Df⊂Rn→Rmf:D_f\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^mf:Df​⊂Rn→Rm, que représente la matrice jacobienne en un point aaa ?

6. Quel mathématicien est associé au résultat selon lequel les dérivées partielles mixtes d’une fonction de classe C2C^2C2 sont égales ?

7. Quel rôle joue le terme quadratique impliquant la matrice hessienne dans le développement de Taylor d’une fonction de classe C2C^2C2 au voisinage d’un point ?

8. En quoi une boule ouverte se distingue-t-elle d’un pavé ouvert dans Rn\mathbb{R}^nRn ?

9. Si les dérivées partielles d’une fonction existent et sont continues en un point, quelle conséquence cela entraîne-t-il pour la fonction en ce point ?

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1. Une fonction associe à chaque point de son domaine un vecteur de $\mathbb{R}^3$ . Comment la décrire en termes de fonctions réelles ?

2. Dans $\mathbb{R}^2$ , un ensemble est défini par $-2<x<4$ et $1<y<7$ . Quelle description correspond à cet ensemble ?

3. Pour calculer la dérivée partielle d’une fonction $f(x,y,z)$ par rapport à $y$ au point $(a,b,c)$ , quelle variation faut-il considérer dans le quotient de variation ?

4. Une fonction de trois variables possède en un point les dérivées partielles $2$ , $-1$ et $4$ par rapport à $x$ , $y$ et $z$ . Quel est son gradient en ce point ?

5. Pour une application différentiable $f:D_f\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ , que représente la matrice jacobienne en un point $a$ ?

6. Quel mathématicien est associé au résultat selon lequel les dérivées partielles mixtes d’une fonction de classe $C^2$ sont égales ?

7. Quel rôle joue le terme quadratique impliquant la matrice hessienne dans le développement de Taylor d’une fonction de classe $C^2$ au voisinage d’un point ?

8. En quoi une boule ouverte se distingue-t-elle d’un pavé ouvert dans $\mathbb{R}^n$ ?