QCM : Tangente et cercle trigonométrique (13 questions)

Question 1

1. Comment la tangente d’un angle orienté non droit est-elle définie géométriquement ?

Comme l’ordonnée du point où la droite x = 1 rencontre la droite support du côté extrémité

Comme la distance entre l’origine et le point où le côté extrémité rencontre le cercle

Comme l’ordonnée du point où le côté initial rencontre l’axe des abscisses

Comme l’abscisse du point où la droite y = 1 rencontre la droite support du côté initial

Explication

La tangente correspond à l’ordonnée du point d’intersection de la droite support du côté extrémité avec la droite x = 1. L’abscisse d’une intersection avec y = 1 décrit une construction différente.

Answer

Comme l’ordonnée du point où la droite x = 1 rencontre la droite support du côté extrémité

Question 2

2. Dans la construction géométrique de la tangente, quel rôle joue la droite d’équation x = 1 ?

Elle représente l’axe des sinus et coupe le cercle trigonométrique en deux points.

Elle forme l’axe des tangentes et touche le cercle trigonométrique en T(0, 1).

Elle forme l’axe des tangentes et touche le cercle trigonométrique en T(1, 0).

Elle représente l’axe des cosinus et passe par le centre du cercle trigonométrique.

Explication

La droite x = 1 est appelée axe des tangentes et elle est tangente au cercle en T(1, 0). Le point T(0, 1) appartient au cercle, mais n’est pas le point de tangence de cette droite.

Answer

Elle forme l’axe des tangentes et touche le cercle trigonométrique en T(1, 0).

Question 3

3. Dans quels quadrants la tangente d’un angle est-elle négative ?

Dans les troisième et quatrième quadrants

Dans les deuxième et quatrième quadrants

Dans les premier et deuxième quadrants

Dans les premier et troisième quadrants

Explication

La tangente est négative dans les quadrants II et IV, et positive dans les quadrants I et III. La confondre avec une fonction négative en I et III inverse les signes de ces deux groupes.

Answer

Dans les deuxième et quatrième quadrants

Question 4

4. Un angle de mesure $\alpha+540°$ a une tangente définie. Quelle relation peut-on écrire ?

\tan(\alpha+540°)=\tan\alpha

\tan(\alpha+540°)=\tan(\alpha+180°)

uniquement si l’angle est dans le premier quadrant

\tan(\alpha+540°)=-\tan\alpha

\tan(\alpha+540°)=\tan\alpha

seulement lorsque

\alpha

est un multiple de

360°

Explication

La tangente a une période de 180°, et 540° correspond à trois périodes, donc les deux tangentes sont égales lorsque la fonction est définie. Une réduction de 360° est associée à d’autres usages trigonométriques et ne constitue pas la période de la tangente.

Answer

$$\tan(\alpha+540°)=\tan\alpha$$

Question 5

5. Pour quel type d’angle la tangente n’est-elle pas définie dans la construction géométrique ?

Lorsque le côté extrémité est porté par l’axe Oy et ne coupe donc pas l’axe des tangentes

Lorsque le côté extrémité traverse un quadrant et rencontre le cercle trigonométrique

Lorsque le côté extrémité est porté par l’axe Ox et coupe l’axe des tangentes à distance finie

Lorsque le côté extrémité est parallèle à l’axe des tangentes et reste à distance constante de celui-ci

Explication

Quand le côté extrémité est porté par Oy, il est perpendiculaire au côté initial et ne fournit pas d’intersection avec l’axe des tangentes. Un côté porté par Ox, au contraire, coupe cet axe et permet de définir la tangente.

Answer

Lorsque le côté extrémité est porté par l’axe Oy et ne coupe donc pas l’axe des tangentes

Question 6

6. Quelles valeurs la tangente peut-elle prendre sur l’ensemble des angles où elle est définie ?

Toute valeur comprise entre

-1

et

1

, bornes incluses

Toute valeur réelle positive, depuis zéro jusqu’à

+\infty

Un ensemble fini de valeurs déterminé par les quatre quadrants

Toute valeur réelle, depuis

-\infty

jusqu’à

+\infty

Explication

La tangente peut prendre toute valeur réelle lorsque l’angle appartient à son domaine de définition. L’intervalle $[-1,1]$ est une confusion avec des bornes associées à d’autres fonctions trigonométriques.

Answer

Toute valeur réelle, depuis $$-\infty$$ jusqu’à $$+\infty$$

Question 7

7. Lorsqu’un angle augmente à l’intérieur de n’importe lequel des quatre quadrants, quel comportement a la tangente ?

Elle diminue dans chacun des quadrants.

Elle augmente dans les quadrants I et II, mais diminue dans III et IV.

Elle augmente dans chacun des quadrants.

Elle reste constante dans chaque quadrant.

Explication

La tangente est une fonction croissante de l’angle dans chacun des quatre quadrants. L’idée qu’elle change de sens de variation entre les quadrants confond son comportement avec le changement de signe de ses valeurs.

Answer

Elle augmente dans chacun des quadrants.

Question 8

8. Pour un angle dont le cosinus est non nul, quelle relation exprime la tangente à partir du sinus et du cosinus ?

\tan\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

\tan\alpha=\sin\alpha+\cos\alpha

\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

\tan\alpha=\sin\alpha\cos\alpha

Explication

La tangente est définie comme le quotient du sinus par le cosinus lorsque le cosinus est non nul. Le quotient inverse correspond à une autre relation et ne donne pas la tangente.

Answer

$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Question 9

9. Pour quel angle peut-on appliquer l’identité $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ ?

Pour un angle dont le sinus est non nul.

Pour un angle dont le sinus et le cosinus sont égaux.

Pour un angle dont le cosinus est non nul.

Pour un angle dont la tangente est nulle.

Explication

L’identité est valable lorsque $\cos\alpha\ne0$ , condition qui rend son membre de droite défini. Un sinus non nul ne suffit pas à garantir cette condition.

Answer

Pour un angle dont le cosinus est non nul.

Question 10

10. Sur le cercle trigonométrique, comment déterminer graphiquement la tangente d’un angle à l’aide de la droite $x=1$ ?

Lire l’ordonnée du point où le côté terminal ou son prolongement rencontre la droite.

Lire la longueur du côté terminal entre l’origine et le cercle.

Lire l’ordonnée du point où le côté terminal rencontre l’axe vertical.

Lire l’abscisse du point où le côté terminal ou son prolongement rencontre la droite.

Explication

L’intersection du côté terminal ou de son prolongement avec la droite $x=1$ fournit un point dont l’ordonnée est la tangente. Son abscisse vaut déjà 1 et ne donne donc pas la valeur recherchée.

Answer

Lire l’ordonnée du point où le côté terminal ou son prolongement rencontre la droite.

Question 11

11. Après avoir calculé la valeur absolue du sinus à partir de la tangente, quel critère permet de choisir son signe ?

Le fait que la tangente soit supérieure ou inférieure à 1.

Le quadrant dans lequel se trouve l’angle.

La valeur absolue du cosinus obtenue par identité.

La position de l’angle par rapport à un angle droit.

Explication

Le signe du sinus dépend du quadrant : par exemple, il est négatif dans le troisième quadrant et positif dans le premier. La valeur de la tangente ne remplace pas ce repérage du signe.

Answer

Le quadrant dans lequel se trouve l’angle.

Question 12

12. Quelle expression donne l’aire d’un trapèze construit dans le cercle trigonométrique en fonction de $\alpha$ ?

A=\frac{\cos^3\alpha}{2\sin\alpha}

A=\frac{\sin^3\alpha}{2\cos\alpha}

A=\frac{\sin\alpha}{2\cos^3\alpha}

A=\frac{\sin^2\alpha}{2\cos\alpha}

Explication

L’aire du trapèze est donnée par le cube du sinus divisé par deux fois le cosinus. L’expression avec le cube du cosinus inverse les fonctions trigonométriques et ne correspond pas à cette formule.

Answer

$$A=\frac{\sin^3\alpha}{2\cos\alpha}$$

Question 13

13. Dans la configuration considérée, quelle formule permet de calculer l’aire du triangle à partir de l’angle $\alpha$ ?

A(\alpha)=16\sin^2\alpha\cos\alpha

A(\alpha)=16\sin\alpha+\cos\alpha

A(\alpha)=16\sin\alpha\cos\alpha

A(\alpha)=8\sin\alpha\cos\alpha

Explication

Dans cette configuration, l’aire dépend du produit du sinus et du cosinus, multiplié par 16. Une formule avec un facteur 8 ne conserve pas le coefficient de l’expression de l’aire.

Answer

$$A(\alpha)=16\sin\alpha\cos\alpha$$

QCM : Tangente et cercle trigonométrique (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment la tangente d’un angle orienté non droit est-elle définie géométriquement ?

2. Dans la construction géométrique de la tangente, quel rôle joue la droite d’équation x = 1 ?

3. Dans quels quadrants la tangente d’un angle est-elle négative ?

4. Un angle de mesure $\alpha+540°$ a une tangente définie. Quelle relation peut-on écrire ?

5. Pour quel type d’angle la tangente n’est-elle pas définie dans la construction géométrique ?

6. Quelles valeurs la tangente peut-elle prendre sur l’ensemble des angles où elle est définie ?

7. Lorsqu’un angle augmente à l’intérieur de n’importe lequel des quatre quadrants, quel comportement a la tangente ?

8. Pour un angle dont le cosinus est non nul, quelle relation exprime la tangente à partir du sinus et du cosinus ?

9. Pour quel angle peut-on appliquer l’identité $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ ?

10. Sur le cercle trigonométrique, comment déterminer graphiquement la tangente d’un angle à l’aide de la droite $x=1$ ?

11. Après avoir calculé la valeur absolue du sinus à partir de la tangente, quel critère permet de choisir son signe ?

12. Quelle expression donne l’aire d’un trapèze construit dans le cercle trigonométrique en fonction de $\alpha$ ?

13. Dans la configuration considérée, quelle formule permet de calculer l’aire du triangle à partir de l’angle $\alpha$ ?

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QCM : Tangente et cercle trigonométrique (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment la tangente d’un angle orienté non droit est-elle définie géométriquement ?

2. Dans la construction géométrique de la tangente, quel rôle joue la droite d’équation x = 1 ?

3. Dans quels quadrants la tangente d’un angle est-elle négative ?

4. Un angle de mesure α+540°\alpha+540°α+540° a une tangente définie. Quelle relation peut-on écrire ?

5. Pour quel type d’angle la tangente n’est-elle pas définie dans la construction géométrique ?

6. Quelles valeurs la tangente peut-elle prendre sur l’ensemble des angles où elle est définie ?

7. Lorsqu’un angle augmente à l’intérieur de n’importe lequel des quatre quadrants, quel comportement a la tangente ?

8. Pour un angle dont le cosinus est non nul, quelle relation exprime la tangente à partir du sinus et du cosinus ?

9. Pour quel angle peut-on appliquer l’identité 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}1+tan2α=cos2α1​ ?

10. Sur le cercle trigonométrique, comment déterminer graphiquement la tangente d’un angle à l’aide de la droite x=1x=1x=1 ?

11. Après avoir calculé la valeur absolue du sinus à partir de la tangente, quel critère permet de choisir son signe ?

12. Quelle expression donne l’aire d’un trapèze construit dans le cercle trigonométrique en fonction de α\alphaα ?

13. Dans la configuration considérée, quelle formule permet de calculer l’aire du triangle à partir de l’angle α\alphaα ?

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4. Un angle de mesure $\alpha+540°$ a une tangente définie. Quelle relation peut-on écrire ?

9. Pour quel angle peut-on appliquer l’identité $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ ?

10. Sur le cercle trigonométrique, comment déterminer graphiquement la tangente d’un angle à l’aide de la droite $x=1$ ?

12. Quelle expression donne l’aire d’un trapèze construit dans le cercle trigonométrique en fonction de $\alpha$ ?

13. Dans la configuration considérée, quelle formule permet de calculer l’aire du triangle à partir de l’angle $\alpha$ ?