Fiche de révision : Tangente et cercle trigonométrique

📋 Plan du Cours

1. Définition géométrique de la tangente
2. Quadrants et périodicité
3. Variation et domaine de la tangente
4. Identités trigonométriques fondamentales
5. Calculs et détermination des angles
6. Applications aux aires géométriques

📖 1. Définition géométrique de la tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente d’un angle : La tangente d’un angle orienté non droit est l’ordonnée du point d’intersection entre la droite x = 1 et la droite support de son côté extrémité.

📝 Points essentiels

• La droite d’équation x = 1 est appelée axe des tangentes et est tangente au cercle trigonométrique au point T(1, 0).

💡 Astuce mémo

Sur la droite verticale x = 1, l’ordonnée du point d’intersection donne la tangente.

📖 2. Quadrants et périodicité

★ À maîtriser

• La tangente est positive dans les premier et troisième quadrants, et négative dans les deuxième et quatrième quadrants.

📐 Formule - Pour tout entier relatif k, $\tan(\alpha + k\times180°)=\tan\alpha$ lorsque la tangente est définie.

Compléments

• La périodicité de la tangente donne $\tan370°=\tan10°$.

💡 Astuce mémo

La tangente est positive en I et III, négative en II et IV.

📖 3. Variation et domaine de la tangente

★ À maîtriser

📌 La tangente n’est pas définie lorsque le côté extrémité est porté par l’axe Oy, c’est-à-dire lorsque les côtés de l’angle sont perpendiculaires.

• Lorsque la tangente est définie, elle peut prendre toute valeur réelle, de $-\infty$ à $+\infty$.

• Dans chacun des quatre quadrants, la tangente est une fonction croissante de l’angle.

Compléments

• La tangente des angles de 0° et de 180° est nulle.

📖 4. Identités trigonométriques fondamentales

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout angle où elle est définie, $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

📐 Formule - Pour tout angle tel que $\cos\alpha\ne0$, $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout angle $\alpha$, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

📖 5. Calculs et détermination des angles

📝 Points essentiels

• Pour déterminer la tangente d’un angle, on représente l’angle, on repère l’intersection de son côté extrémité ou de son prolongement avec la droite x = 1, puis on lit l’ordonnée du point obtenu.

• Pour retrouver le sinus ou le cosinus à partir de la tangente, on utilise $1+\tan^2\alpha=1/\cos^2\alpha$, puis $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, et on choisit le signe selon le quadrant.

• Si $\tan\beta=\sqrt5$ et si $\beta$ appartient au troisième quadrant, alors $\sin\beta=-\frac{\sqrt{30}}6$.

💡 Astuce mémo

Réduire l’angle, lire la tangente, puis choisir le signe selon le quadrant.

📖 6. Applications aux aires géométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’aire d’un trapèze construit dans le cercle trigonométrique peut s’écrire $A=\frac{\sin^3\alpha}{2\cos\alpha}$.

• Pour $\alpha=60°$, l’aire du trapèze vaut $\frac{3\sqrt3}{8}$.

📐 Formule - Dans la configuration du triangle décrite dans le cours, son aire en fonction de l’angle $\alpha$ est $A(\alpha)=16\sin\alpha\cos\alpha$.