Fiche de révision : Taux de variation et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation entre deux points
2. Nombre dérivé et limite
3. Tangente et interprétation géométrique
4. Équation de la tangente
5. Formules de dérivation usuelles
6. Calcul d’un nombre dérivé

📖 1. Taux de variation entre deux points

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Mesure la variation de la fonction entre ces deux nombres.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux de variation de f entre a et b est donné par $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Compléments

• Pour f(x)=x^2, a=2 et b=3, le taux de variation vaut $\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5$.

📖 2. Nombre dérivé et limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Représente le taux de variation de f lorsque les deux nombres considérés se rapprochent jusqu’à se confondre en a.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre dérivé en a est défini par $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Compléments

• Dans la définition du nombre dérivé, h se rapproche de 0 sans être égal à 0.

💡 Astuce mémo

Deux points pour le taux moyen, un point pour la variation instantanée.

📖 3. Tangente et interprétation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.

📝 Points essentiels

• Si f'(a)>0, la tangente monte de gauche à droite.

• Si f'(a)<0, la tangente descend de gauche à droite.

• Si f'(a)=0, la tangente est horizontale.

📖 4. Équation de la tangente

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

• Pour déterminer l’équation de la tangente, il faut connaître :

  • le nombre dérivé f'(a)
  • l’image f(a)
  • l’abscisse a

• Si f(2)=4 et f'(2)=4, l’équation de la tangente est $y=4(x-2)+4=4x-4$.

📖 5. Formules de dérivation usuelles

★ À maîtriser

• Les dérivées usuelles sont $k\mapsto 0$ pour une constante, $x\mapsto 1$, $x^2\mapsto 2x$, $x^3\mapsto 3x^2$ et $x^n\mapsto nx^{n-1}$.

Compléments

📌 Pour la formule de dérivation de x^n, n est un nombre entier positif.

• Pour dériver x^n, on multiplie par n puis on diminue l’exposant de 1.

📖 6. Calcul d’un nombre dérivé

★ À maîtriser

• Pour f(x)=x^2, la dérivée est f'(x)=2x, donc f'(3)=2\times3=6.

Compléments

• Dans cet exemple, le nombre dérivé en 3 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.