QCM : Taux de variation et dérivation (10 questions)

Question 1

1. Pour une fonction vérifiant $f(2)=7$ et $f(5)=16$ , quelle expression donne son taux de variation entre 2 et 5 ?

\frac{7-16}{5-2}

\frac{16-7}{5-2}

\frac{16-7}{5+2}

\frac{16-7}{16-7}

Explication

Le taux de variation entre deux abscisses est le quotient de la différence des images par la différence des abscisses, dans le même ordre. Inverser les images change le signe, diviser par la différence des images confond les deux écarts, et additionner les abscisses ne respecte pas la formule.

Answer

$$\frac{16-7}{5-2}$$

Question 2

2. Que mesure le taux de variation d’une fonction entre deux nombres distincts ?

L’abscisse où la fonction atteint une valeur nulle

La variation instantanée de la fonction en un seul point

La variation de la fonction entre ces deux nombres

La valeur de la fonction au second nombre considéré

Explication

Le taux de variation mesure comment la fonction varie entre deux nombres. La variation instantanée concerne le nombre dérivé, l’image au second nombre est une valeur de la fonction, et une abscisse d’annulation répond à une autre question.

Answer

La variation de la fonction entre ces deux nombres

Question 3

3. Lorsque deux abscisses se rapprochent de $a$ jusqu’à se confondre, quelle grandeur décrit la variation instantanée de $f$ en $a$ ?

La différence entre les deux abscisses

Le taux de variation entre deux abscisses distinctes

L’image

f(a)

Le nombre dérivé

f'(a)

Explication

Le nombre dérivé représente le taux de variation lorsque les deux nombres se rapprochent jusqu’à se confondre en $a$ . Un taux entre deux abscisses distinctes reste une variation moyenne, $f(a)$ est une image, et l’écart entre abscisses n’est pas la variation instantanée.

Answer

Le nombre dérivé $$f'(a)$$

Question 4

4. Pour calculer le nombre dérivé en $a$ à partir de sa définition, quelle limite faut-il évaluer ?

\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

\lim_{h\to 0}\frac{f(a)-f(a+h)}{h}

\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(a)}{h-a}

\lim_{h\to 0}\bigl(f(a+h)-f(a)\bigr)

Explication

La définition du nombre dérivé est la limite du quotient de la différence des images par le déplacement $h$ , lorsque $h$ tend vers zéro. La formule avec $f(h)$ change les abscisses considérées, inverser le numérateur change le signe, et omettre la division ne donne pas le quotient différentiel.

Answer

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Question 5

5. Que représente géométriquement le nombre dérivé $f'(a)$ pour la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point

L’ordonnée du point de la courbe d’abscisse

a

La longueur de la tangente entre ce point et l’axe des abscisses

Le taux de variation de la fonction sur un intervalle autour de

a

Explication

Le nombre dérivé en $a$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ . L’ordonnée de ce point est plutôt donnée par $f(a)$ .

Answer

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point

Question 6

6. Si $f(2)=4$ et $f'(2)=4$ , quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ ?

y=4x+4

y=2x

y=4x-4

y=4x-2

Explication

La formule de la tangente donne $y=f'(2)(x-2)+f(2)=4(x-2)+4$ , soit $y=4x-4$ . L’expression $y=4x+4$ ne passe pas par le point de tangence $(2,4)$ .

Answer

$$y=4x-4$$

Question 7

7. Quel est le rôle de la dérivée d’une fonction de la forme $x^n$ , lorsque $n$ est un entier positif ?

Elle fournit

x^{n+1}

, en augmentant l’exposant de 1 sans changer le coefficient.

Elle fournit

nx^{n-1}

, en multipliant par l’exposant puis en le diminuant de 1.

Elle fournit

nx^n

, en multipliant par l’exposant sans modifier la puissance.

Elle fournit

x^{n-1}

, en diminuant la puissance sans modifier le coefficient.

Explication

La règle de dérivation des puissances consiste à multiplier par l’exposant et à réduire celui-ci de 1. Par exemple, multiplier par l’exposant sans modifier la puissance, comme dans $nx^n$ , ne correspond pas à cette règle.

Answer

Elle fournit $$nx^{n-1}$$, en multipliant par l’exposant puis en le diminuant de 1.

Question 8

8. En quoi la dérivée d’une fonction constante diffère-t-elle de celle de la fonction identité $x\mapsto x$ ?

La dérivée de la constante vaut

0

, tandis que celle de l’identité vaut

1

.

Les deux dérivées sont égales à la fonction identité.

Les deux dérivées sont égales à la fonction constante.

La dérivée de la constante vaut

1

, tandis que celle de l’identité vaut

0

.

Explication

Une fonction constante a pour dérivée $0$ , alors que la dérivée de $x\mapsto x$ vaut $1$ . Inverser ces valeurs confond la fonction constante avec la fonction identité.

Answer

La dérivée de la constante vaut $$0$$, tandis que celle de l’identité vaut $$1$$.

Question 9

9. Pour $f(x)=x^2$ , le taux de variation entre $2$ et $3$ vaut $5$ . Quelle conséquence cela a-t-il pour les valeurs de la fonction sur cet intervalle ?

La fonction augmente de

5

unités au total entre les deux abscisses.

La fonction augmente de

5

unités par unité d’abscisse, en moyenne.

La fonction prend la valeur

5

à l’abscisse située au milieu de l’intervalle.

La fonction atteint une pente instantanée de

5

en chacun des deux points.

Explication

Le taux de variation est une variation moyenne de la fonction rapportée à une unité d’abscisse, ce qui indique ici une augmentation moyenne de $5$ . Il ne donne pas l’augmentation totale, qui est de $9-4=5$ unités, ni la pente instantanée aux extrémités.

Answer

La fonction augmente de $$5$$ unités par unité d’abscisse, en moyenne.

Question 10

10. Pour estimer le nombre dérivé de $f$ en $a$ à l’aide de sa définition, comment faut-il choisir les valeurs de $h$ dans le quotient de différence ?

Les faire tendre vers

0

sans prendre la valeur

0

.

Les faire tendre vers

a

en gardant le quotient inchangé.

Les faire tendre vers l’infini pour comparer les images.

Les fixer à une valeur non nulle éloignée de

0

.

Explication

La définition s’obtient en faisant tendre $h$ vers $0$ dans le quotient de différence, tout en gardant $h$ non nul lors du calcul du quotient. Une valeur fixe éloignée de zéro fournit un taux de variation entre deux points, pas la limite qui définit le nombre dérivé.

Answer

Les faire tendre vers $$0$$ sans prendre la valeur $$0$$.

QCM : Taux de variation et dérivation (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction vérifiant $f(2)=7$ et $f(5)=16$ , quelle expression donne son taux de variation entre 2 et 5 ?

2. Que mesure le taux de variation d’une fonction entre deux nombres distincts ?

3. Lorsque deux abscisses se rapprochent de $a$ jusqu’à se confondre, quelle grandeur décrit la variation instantanée de $f$ en $a$ ?

4. Pour calculer le nombre dérivé en $a$ à partir de sa définition, quelle limite faut-il évaluer ?

5. Que représente géométriquement le nombre dérivé $f'(a)$ pour la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

6. Si $f(2)=4$ et $f'(2)=4$ , quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ ?

7. Quel est le rôle de la dérivée d’une fonction de la forme $x^n$ , lorsque $n$ est un entier positif ?

8. En quoi la dérivée d’une fonction constante diffère-t-elle de celle de la fonction identité $x\mapsto x$ ?

9. Pour $f(x)=x^2$ , le taux de variation entre $2$ et $3$ vaut $5$ . Quelle conséquence cela a-t-il pour les valeurs de la fonction sur cet intervalle ?

10. Pour estimer le nombre dérivé de $f$ en $a$ à l’aide de sa définition, comment faut-il choisir les valeurs de $h$ dans le quotient de différence ?

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QCM : Taux de variation et dérivation (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction vérifiant f(2)=7f(2)=7f(2)=7 et f(5)=16f(5)=16f(5)=16, quelle expression donne son taux de variation entre 2 et 5 ?

2. Que mesure le taux de variation d’une fonction entre deux nombres distincts ?

3. Lorsque deux abscisses se rapprochent de aaa jusqu’à se confondre, quelle grandeur décrit la variation instantanée de fff en aaa ?

4. Pour calculer le nombre dérivé en aaa à partir de sa définition, quelle limite faut-il évaluer ?

5. Que représente géométriquement le nombre dérivé f′(a)f'(a)f′(a) pour la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

6. Si f(2)=4f(2)=4f(2)=4 et f′(2)=4f'(2)=4f′(2)=4, quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 222 ?

7. Quel est le rôle de la dérivée d’une fonction de la forme xnx^nxn, lorsque nnn est un entier positif ?

8. En quoi la dérivée d’une fonction constante diffère-t-elle de celle de la fonction identité x↦xx\mapsto xx↦x ?

9. Pour f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2, le taux de variation entre 222 et 333 vaut 555. Quelle conséquence cela a-t-il pour les valeurs de la fonction sur cet intervalle ?

10. Pour estimer le nombre dérivé de fff en aaa à l’aide de sa définition, comment faut-il choisir les valeurs de hhh dans le quotient de différence ?

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1. Pour une fonction vérifiant $f(2)=7$ et $f(5)=16$ , quelle expression donne son taux de variation entre 2 et 5 ?

3. Lorsque deux abscisses se rapprochent de $a$ jusqu’à se confondre, quelle grandeur décrit la variation instantanée de $f$ en $a$ ?

4. Pour calculer le nombre dérivé en $a$ à partir de sa définition, quelle limite faut-il évaluer ?

5. Que représente géométriquement le nombre dérivé $f'(a)$ pour la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

6. Si $f(2)=4$ et $f'(2)=4$ , quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ ?

7. Quel est le rôle de la dérivée d’une fonction de la forme $x^n$ , lorsque $n$ est un entier positif ?

8. En quoi la dérivée d’une fonction constante diffère-t-elle de celle de la fonction identité $x\mapsto x$ ?

9. Pour $f(x)=x^2$ , le taux de variation entre $2$ et $3$ vaut $5$ . Quelle conséquence cela a-t-il pour les valeurs de la fonction sur cet intervalle ?

10. Pour estimer le nombre dérivé de $f$ en $a$ à l’aide de sa définition, comment faut-il choisir les valeurs de $h$ dans le quotient de différence ?