QCM : Techniques de calcul et analyse — 64 questions

Explication

Les trois opérations élémentaires sont l’addition, la multiplication et la puissance. La soustraction et la division sont considérées comme les opérations inverses de l’addition et de la multiplication.

Explication

L’addition et la multiplication sont commutatives, car l’ordre des termes ou des facteurs ne change pas le résultat. La distributivité concerne la transformation d’un produit en somme, et non l’échange des positions.

Explication

La puissance est calculée avant la multiplication, puis l’addition : $4^2=16$, $3\times16=48$ et $2+48=50$. Calculer l’addition avant la multiplication modifierait à tort l’ordre imposé.

Explication

Toute base non nulle élevée à la puissance zéro vaut $1$, alors que l’expression $0^0$ n’est pas définie. L’affirmation proposant une valeur pour $0^0$ contredit cette convention mathématique.

Explication

Le carré d’une différence contient le terme croisé négatif $-2ab$, donc $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Le terme $+2ab$ appartient au carré d’une somme.

Explication

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ compte les parties comportant $k$ éléments parmi un ensemble de $n$ éléments. Il ne représente pas une multiplication répétée, qui correspondrait à une puissance.

Explication

La formule générale est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; avec $n=5$ et $k=2$, elle donne $\frac{5!}{2!3!}$. Les autres expressions ne respectent pas les facteurs du dénominateur.

Explication

La formule du binôme donne le coefficient $\binom{3}{2}=3$ pour le terme $a^{3-2}b^2=ab^2$. Le coefficient $2$ correspondrait à une autre puissance ou à une mauvaise lecture de l’exposant de $b$.

Explication

Le degré est le plus grand exposant associé à un coefficient non nul. Le nombre de termes peut être différent du degré, notamment lorsque certains exposants intermédiaires sont absents.

Explication

Un réel est une racine lorsque son image par le polynôme est nulle, c’est-à-dire lorsque $P(a)=0$. La valeur $P(a)=1$ ne caractérise pas une racine.

Explication

Comme $3$ est une racine de $P$, le facteur associé est $X-3$. Le facteur $X+3$ correspondrait à une racine égale à $-3$.

Explication

Ici, $a=1$, $b=-4$ et $c=3$, donc $\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=4$. La formule donne $x=\frac{4\pm2}{2}$, soit les racines $1$ et $3$; l’absence de racines ne s’applique pas puisque le discriminant est positif.

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, ce qui donne $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$. L’expression $\frac{ac}{bd}$ correspond au produit des deux fractions, et non à leur quotient.

Explication

Lorsqu’une puissance est élevée à une autre puissance, les exposants se multiplient, donc $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$. La somme des exposants s’applique au produit de puissances de même base, pas à une puissance composée.

Explication

L’exposant est pair et le membre de droite est positif, donc deux solutions opposées sont possibles; ici, elles sont $2$ et $-2$. L’absence de solution réelle concerne une puissance paire égale à un nombre négatif.

Explication

Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. La condition portant sur un nombre pair de facteurs négatifs concerne le signe positif d’un produit, pas sa nullité.

Explication

Multiplier une inégalité par un nombre négatif inverse son sens; ainsi, $-3x<12$ devient $3x>-12$. Conserver le signe « inférieur à » après cette multiplication serait une erreur de règle.

Explication

Chaque paire de facteurs négatifs produit un facteur positif; un nombre pair de facteurs négatifs rend donc le produit positif. Un nombre impair de facteurs négatifs rend au contraire le produit négatif.

Explication

Un nombre rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul; $\frac{-7}{5}$ répond à cette définition. Une écriture décimale infinie non cyclique caractérise au contraire un nombre irrationnel.

Explication

On a $47=6\times7+5$, avec un reste vérifiant $0\le r\le5$. Le nombre $7$ est le quotient, tandis que $5$ est le reste; leurs rôles ne sont donc pas interchangeables.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même, et il existe une infinité de tels nombres. La divisibilité par plusieurs entiers ou la présence d’au moins trois diviseurs caractérise plutôt des nombres composés.

Explication

Dans une base donnée, un rationnel possède une écriture décimale finie ou périodique, donc cyclique lorsqu’elle est infinie, tandis qu’un irrationnel a une écriture non cyclique. Une écriture rationnelle n’est pas nécessairement entière ni finie dans toutes les bases.

Explication

Une fonction réelle attribue une image unique à chaque élément de son ensemble de définition. Une relation quelconque peut, elle, associer plusieurs images au même antécédent.

Explication

La pente vaut $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{12-3}{5-2}=3$. La différence des ordonnées doit être divisée par la différence des abscisses, et non l’inverse.

Explication

Un infinitésimal positif est strictement positif tout en étant plus petit que chaque réel strictement positif. Il ne s’agit donc pas simplement d’un réel positif proche de zéro.

Explication

La partie standard est l’unique réel infiniment proche de tout hyperréel fini. Elle ne correspond ni à une valeur absolue ni à un infinitésimal particulier.

Explication

La limite décrit la proximité de $f(x)$ avec $l$ lorsque $x$ est infiniment proche de $a$. La valeur $f(a)$ peut être différente de $l$ ou ne pas être définie.

Explication

La continuité exige que des arguments infiniment proches produisent des images infiniment proches. Elle ne demande ni une égalité exacte ni une variation égale à $\epsilon$.

Explication

La dérivée est la partie standard du quotient de différence, lorsque cette partie standard existe et ne dépend pas de l’infinitésimal non nul choisi. Le quotient lui-même est hyperréel et n’est pas nécessairement un réel.

Explication

La dérivabilité entraîne la continuité, tandis que la réciproque n’est pas garantie. Une fonction continue peut présenter un point anguleux et ne pas y posséder de dérivée.

Explication

Une bijection associe à chaque élément de l’ensemble d’arrivée un antécédent unique, ce qui combine les exigences d’existence et d’unicité. Une fonction non injective peut attribuer plusieurs antécédents à une même image.

Explication

La règle du produit s’applique lorsque la base vérifie $a>0$ et $a\ne1$, et transforme le produit en somme de logarithmes. La différence correspond à la règle d’un quotient, pas d’un produit.

Explication

L’exponentielle est la fonction $x\mapsto e^x$, où $e$ est défini par $\exp(1)$ et vaut environ $2,71827$. Elle n’est ni une puissance de base variable ni une fonction logarithmique.

Explication

Pour une base positive, la dérivée de $a^x$ est $\ln(a)a^x$. La formule $xa^{x-1}$ concerne la dérivation d’une puissance de la forme $x^a$ avec exposant constant.

Explication

Les couples et les triplets peuvent être munis des opérations vectorielles usuelles, ce qui permet de les considérer comme des vecteurs. L’interprétation en matrices ou en fonctions ne correspond pas aux opérations décrites ici.

Explication

La dimension correspond au nombre de coordonnées indépendantes : deux pour $\mathbb R^2$ et trois pour $\mathbb R^3$. La confusion vient du fait que $\mathbb R^2$ représente le plan, tandis que $\mathbb R^3$ représente l’espace.

Explication

Les éléments de $\mathbb R^2$ peuvent être vus comme des vecteurs dans un espace vectoriel ou comme des points dans un espace affine. L’interprétation dépend donc de la structure géométrique retenue.

Explication

Par définition, $\sinh(x)$ est la demi-différence entre $e^x$ et $e^{-x}$. La demi-somme correspond à $\cosh(x)$, qui est une fonction paire et non impaire.

Explication

Les définitions exponentielles donnent une différence de carrés égale à 1. La somme de carrés appartient à l’identité trigonométrique classique, et non à l’identité hyperbolique.

Explication

La fonction $\sinh$ prend toutes les valeurs réelles de manière bijective sur $\mathbb R$. La fonction $\cosh$ devient bijective après restriction à $[0,+\infty[$, avec des valeurs dans $[1,+\infty[$.

Explication

La formule de Leibniz répartit les dérivées entre les deux facteurs et associe à chaque répartition le coefficient binomial correspondant. Omettre ces coefficients revient à appliquer incorrectement une généralisation de la règle simple du produit.

Explication

La dérivée recherchée est d’ordre cinq, donc la formule de Leibniz doit être appliquée avec $n=5$. Les autres valeurs correspondent à des ordres de dérivation différents.

Explication

Le produit scalaire associe un réel à deux vecteurs et possède notamment les propriétés de commutativité, de linéarité et de positivité. L’addition de vecteurs, en revanche, produit un vecteur.

Explication

La norme est définie comme la racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même et représente sa longueur. Elle est donc un nombre positif, et non un vecteur doté d’une direction.

Explication

Un produit scalaire nul caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs. La colinéarité signifie qu’un vecteur est un multiple réel de l’autre, ce qui ne découle pas d’un produit scalaire nul.

Explication

Dans la base canonique, on calcule $1\times4+(-2)\times0+3\times(-1)=1$. La formule additionne les produits des coordonnées correspondantes.

Explication

Le produit scalaire est le produit des deux normes par le cosinus de l’angle formé par les vecteurs. Ainsi, des vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul, tandis que des vecteurs colinéaires forment un angle nul ou plat.

Explication

Lorsque $\vec u$ est normalisé, sa norme vaut $1$ et le projeté est $\langle\vec v\mid\vec u\rangle\vec u$. Le résultat est donc colinéaire à $\vec u$, et non à $\vec v$.

Explication

Pour un vecteur directeur de norme quelconque, il faut diviser le produit scalaire par $\|\vec u\|^2$ avant de multiplier par $\vec u$. Le projeté obtenu est colinéaire à $\vec u$, tandis que la composante restante lui est orthogonale.

Explication

La dérivée fondamentale de la tangente est $\tan'(x)=1/\cos^2(x)$, ce qui est égal à $1+\tan^2(x)$. Les expressions faisant intervenir un signe négatif correspondent à d’autres relations ou à aucune dérivée trigonométrique valide.

Explication

Tous les points de la droite sont obtenus en ajoutant à $A$ un multiple réel de $\vec u$. Une droite vectorielle passe par l’origine, alors qu’une droite affine est translatée par son point fixé $A$.

Explication

Un vecteur normal à la droite fournit les coefficients de son équation cartésienne $ax+by=c$. Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite, contrairement au vecteur directeur qui lui est parallèle.

Explication

Dans l’espace, les coordonnées d’un point du plan vérifient une relation de la forme $ax+by+cz=d$. La forme $ax+by=c$ décrit une droite dans le plan et ne comporte pas la troisième coordonnée.

Explication

Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes est donné par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$. La relation inverse concernant la distance à l’origine est $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

Explication

Dans la forme cartésienne, $a$ désigne la partie réelle et $b$ le coefficient réel de la partie imaginaire. Confondre $b$ avec $ib$ revient à confondre le coefficient avec le terme imaginaire complet.

Explication

Le module vaut $\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$, tandis que le conjugué change le signe de la partie imaginaire et vaut donc $3+4i$. La somme des coefficients ne donne pas le module, et le conjugué ne conserve pas le signe de $-4i$.

Explication

La forme exponentielle associe le module au facteur réel et l’argument à l’exposant imaginaire, ce qui donne $z=re^{i\theta}=4e^{i\theta}$. L’argument ne remplace pas le module et ne devient pas le facteur réel.

Explication

La formule correcte est $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$, obtenue par différence des exponentielles opposées. La somme correspond à la formule de $\cos(x)$, tandis que le dénominateur de la formule du sinus contient $2i$.

Explication

L’intégrale de Riemann est la valeur limite des sommes de rectangles quand le nombre de rectangles devient hyper-entier infini. Une somme construite avec un nombre fini de rectangles reste une approximation de cette limite.

Explication

Toute fonction continue sur un intervalle fermé est intégrable au sens de Riemann. Elle n’a pas besoin d’être constante ni de posséder une primitive élémentaire, et la seule fermeture de l’intervalle ne suffit pas pour toute fonction bornée.

Explication

La linéarité distribue l’intégrale sur la somme et fait sortir chaque constante, d’où la formule proposée. Elle ne transforme pas l’intégrale en produit et n’ajoute pas un terme indépendant comme $kl$.

Explication

L’intégration par parties conserve le terme de bord $[f(x)g(x)]_a^b$ et soustrait l’intégrale où les rôles des dérivées sont transférés. Omettre ou inverser ce terme conduit à une identité différente de la formule correcte.

Explication

Le changement de variable transforme les bornes en $A=\varphi(a)$ et $B=\varphi(b)$, tandis que $dX=\varphi'(x)\,dx$ fournit le facteur dérivé. Négliger ce facteur ou remplacer l’argument de $f$ par une dérivée modifie l’intégrale.